1、解三角形期末复习测试一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1在ABC 中，已知 a ，b ，A 30，则 c 等于 ( )5 15A2 B. C 2 或 D以上都不对5 5 5 52在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2c 2b 2 ac，则角 B 的值为3( )A. B. C. 或 D. 或6 3 6 56 3 23解析 a 2c 2b 2 ac，cos B ，B .3a2 c2 b22ac 3ac2ac 32 63从高出海平面 h 米的小岛看到正东方向有一只船俯角为 30，看到正南方向有一只船俯角为 45，则此时两船间的距离为( )A
2、2h 米 B. h 米 C. h 米 D2 h 米2 3 2解析 如图所示，BC= h，AC=h ，AB= = 2h.323h4. 在ABC 中，AB=3 ，AC=2，BC= ，则 等于( )10BAAC A B C. D.32 23 23 32解析 由余弦定理得 cos A . | | |cos AB2 AC2 BC22ABAC 9 4 1012 14 BAC AB AC A32 . .14 32 AC AB AC 325根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )Aa8，b16，A30，有两解 Bb18，c 20，B60 ，有一解Ca5，c 2，A90，无解 Da30，b25，A1
3、50 ，有一解解析 A 中，因 ，所以 sin B 1B90，即只有一解；B 中 sin asin A bsin B 16sin 308C ，且 cb， CB，故有两解； C 中，A90，a5，c220sin 6018 539b ，即有解，故 A、B、C 都不正确a2 c2 25 4 216已知ABC 中，sin Asin B sin Ck ( k1)2k， 则 k 的取值范围是( )A(2，) B(，0) C. D.( 12，0) (12， )解析 由正弦定理得：amk，bm (k1) ，c2mk( m0)，Error! 即Error!，k .127在ABC 中，A60，AC16，面积为 2
4、20 ，那么 BC 的长度为( )3A25 B51 C49 D4938. 在锐角ABC 中，有( )Acos A sin B 且 cos Bsin A B cos Asin B 且 cos Bsin A解析 由于 AB ，得 A B，即 A B02 2 2 2ycos x 在 是减函数，所以得 cos Ab2c 2，则ABC 为钝角三角形；a 2b 2c 2bc，则A 为 60；a 2b 2c2，则 ABC 为锐角三角形；若AB C 123，则 ab c123.其中正确的个数为( )二填空题13.已知 ABC 的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 ABC的面积为 3
5、1514.在ABC 中，如果 lgalg clgsinBlg ，且 B 为锐角，试判断ABC 的2形状等腰三角形15.在ABC 中，| |3，| |2， 与 的夹角为 60，则| |_ ABCABAC_；| |_ _ 16.ABC 为钝角三角形；a 2b 2c 2bc ，则 A 为 60；a 2b 2c2，则ABC 为锐角三角形；若 ABC123，则 abc123.其中正确的_ _ 解析 由 a2b2c 2 知 A 为钝角，正确；由 a2b 2c 2bc 知 A120，错；由 a2b 2c2，仅能判断 C 为锐角，A、 B 未知，错；由 ABC123，知A ，B ，C ，sin A sin B
6、sin C 11 2，错所以 仅正确6 3 2 12 32 3三解答题17设 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，已知11.cos.4abC（）求 的周长 （）求 cosA的值解：（）22 14cab2.cABC的周长为 125.c（）25cos,sinos1().44C15sini28aAc,acA，故 A 为锐角，27os1si1().151c()cosin.8486ACAC18.在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长已知 b2ac 且 a2c 2acbc.(1)求A 的大；(2) 求 的值bsin Bc解：(1)利用 cos A 求解；(2) 利用正弦定理对代数
7、式 进行转化b2 c2 a22bc bsin Bc(1)b 2ac 且 a2c 2ac bc，a 2c 2b 2bc ，b 2c 2a 2bc，cos A ，A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12(2)方法一 在ABC 中，由正弦定理得：sin B ， b2ac， .sin B bsin Aa ba cb bsin Aa， sin Asin 60 .csin Ab bsin Bc 32方法二 在ABC 中，由面积公式得： bcsin A acsin B12 12b2ac，bcsin A b 2sin B， sin Asin 60 .bsin Bc 3219. （2009 辽宁卷文）如
8、图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075， 3，于水面C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 06，AC0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到0.01km， 21.414， 2.449） 解：在 A中， C30， 60 AC30，所以 CDAC0.1 又 180606060，故 CB 是 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA 在 B中， ABsinsi， 即 AB 206351in6AC 因此， km.BD故 B、D 的距离约为
9、 0.33km。 20在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC （）求角 C 的大小；（）求 y= 3sinA-cos（B+ 4）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。解析：（I）由正弦定理得 sinsico.CAC因为 0,所以sin0.sico.0,tan1,4A从 而 又 所 以 则（II）由（I）知3.4B于是3sinco()sinco()s2().610,46623AAA 从 而 当 即 时 2sin()6取最大值 2综上所述，3sinco()4AB的最大值为 2，此时5,.312AB21.叙述并证明余弦定理。解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在 ABC 中，a,b,c 为 A,B,C 的对边，有22cosabA22cosbaBcaC证法一 如图2aB()()B22ACBAcosb即 22cosb 同理可证 22acaC证法二 已知 ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 (cos,in),(0bABc,222(cos)(sin)aBCbbA222cosbcsa同理可证 22o,cs.baBcbC22写出本章主要知识点，常见考点及所出现的数学思想方法。AOS
