1、【本讲教育信息】一. 教学内容： 选修 21 知识复习（二）二. 教学目的通过对选修 21 各章节重点知识分析及例题讲解，加强对本册知识的掌握。三. 教学重点、难点重点问题专题讲解四. 知识分析（八）抛物线抛物线是平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（F l）距离相等的点的轨迹。抛物线部分的重点是抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程和几何性质。难点是利用抛物线的定义解题，求抛物线的方程以及抛物线几何性质的应用。下面通过几例来体验一下如何突破抛物线的重难点。例 1. 如图所示，AB 为抛物线 上的动弦，且 （a 为常数且 ），则弦AB 的中点 M 与 x 轴的最小距离为_。分析：将 M 到
2、 x 轴的距离转化为 A，B 两点到准线的距离，进而转化为 A，B 两点到焦点的距离，从而利用定义解题。解：设 A，M，B 点的纵坐标分别为 ，且 A，M，B 三点在抛物线准线上的射影分别为 。由抛物线的定义知：， 所以又 M 是线段 AB 的中点，所以等号在定长为 a 的弦 AB 过焦点 F 时成立，此时 M 点与 x 轴的距离最小，最小值为（ ）。点评：本题运用了抛物线的定义，并注意挖掘题目中隐含的几何条件（三角形的性质），使解题过程简明快捷。另外，抛物线 过焦点的弦的最小长度为 1，故 的条件保证了 AB 过焦点，即本题的最小值可以取到。例 2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上
3、，且抛物线上一点（3，m）到焦点的距离为 5，求抛物线的方程。分析：应分焦点在 y 轴正半轴和负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数求抛物线方程。解：若焦点在 y 轴的正半轴上，则可设方程为准线方程为 ， 所以又因为 ，所以 ，所以 。解得 p=1 或 。所以抛物线方程为 或若焦点在 y 轴的负半轴上，则可设方程为准线方程为 ，所以又因为 ，所以 。所以 。解得 p=1 或 p=9所以抛物线方程为 或 。例 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 上异于坐标原点 O 的两个不同动点 A，B满足 AOBO，如图所示。（1）求AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
4、（2）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。分析：求动点轨迹的常规方法，就是设动点（x，y），找该点与 A（ ），B（）的关系，再求轨迹方程。求面积的最小值经常与二次函数以及均值不等式联系在一起。解：（1）设AOB 的重心为 G（x，y），点 A（ ），B （ ），则因为 AOBO，所以即 又点 A，B 在抛物线上，所以代入化简得由得所以即重心 G 的轨迹方程为 。（2）由（1）得因为所以 ，且当 x=0 时，所以故AOB 的面积存在最小值，最小值为 1。点评：本题考查了轨迹问题、最值问题，同时考查了同学们推理运算能力及综合运用知识解题的能力，应注意代入法的
5、使用。（九）直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线中的重要内容，也是近年高考的热点内容。只要是考查圆锥曲线问题，一般都是与直线结合。因此我们扎实地掌握基础，熟练地掌握各种技能是必须的。本文对这一小块内容进行小结，希望会对你有所帮助。一、重点再现直线与圆锥曲线问题的求解思路通常有两条：其一是借助方程，将直线 l 的方程与圆锥曲线 C 的方程联立，消去 y 得到关于 x 的方程 （当然，也可以消去 x 得到关于 y 的方程），通过分析方程产生结论；其二是数形结合，由于抛物线及双曲线的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便。我们知道当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时
6、，都只有一个交点，但此时并非相切。二、难点回顾由于直线与圆锥曲线的位置关系可以涉及直线与圆锥曲线的所有基础知识与基本技能，又可以与函数、方程、不等式等知识进行交汇，因而它是解析几何的难点之一。三、典例解析例 1. 求过点 P（2，1）且被点 P 平分的椭圆 的弦所在直线的方程。解法一：设所求直线方程为 ，则消去 y，并整理得：由 得 。于是所求直线方程为解法二：设弦的两端点分别为（ ）与（ ），则由可得：所以于是所求直线方程为评析：直线与圆锥曲线相交，出现“中点弦”问题的常规处理方法有两种：（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；（2）点差法：设出弦的两端点，利
7、用中点坐标公式进行求解。例 2. 已知直线 与双曲线 关于 A，B 两点。（1）若以 AB 为直径的圆过原点，求实数 a 的值；（2）若 A，B 在双曲线的两支上，求实数 a 的范围。解：由可得：由于直线与双曲线有两个交点，因此，可得：（1）设 A（ ）， B（ ），则即也就是所以解得（2）若 A，B 在双曲线的两支上，则即于是可得 。评析：涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立构成方程组，消元后，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解，这是常用的方法，本题就是利用这个解题方法进行求解的。例 3. 过点（2，0）的直线 l 与抛物线 交于 A
8、、B 两点，求 AB 的中点的轨迹方程。解：易知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为设 A（ ），B（ ），AB 的中点坐标为（x，y），则 。于是相减得：那么由于所以即又由 ，得：由 ，得：k0 或 。又 k=2x，所以 x0 或 x4因此轨迹方程为 。评析：整体运算是一种运算策略，它通过整体推理、整体代换等手段有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可给我们带来一种赏心悦目的享受，本题借助整体运算产生中点轨迹方程，其过程既简练又运算简单。好了，说了这么多，你看后有收获吗？若有，别忘了把它推荐给你的同学，让你们共同提高啊！（十）空间向量及其运算一、知识要点1. 空
9、间任意两向量 共线的充要条件是存在惟一实数 ，使 。注： 与任一向量共线。2. 空间中 与不共线向量 共面的充要条件是存在惟一一对实数 x，y，使 。该定理的推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在惟一一对有序实数x，y，使 ，或对空间一点 O 有 。注：空间任意两向量必共面。3. 如果 不共面，那么对空间任一向量 ，存在惟一的有序实数组 x，y，z ，使。注：空间上四个点共面的充要条件为：若存在实数 x，y，z，使得对于空间任意一点O，有 ，且 成立，则 P，A，B，C 四点共面。4. 空间向量的数量积及向量平行或垂直的坐标表示。设 =（ ）， =（ ），则有：二、典例精析例
10、 1. 已知非零向量 不共线，如果 ，求证：A， B，C，D 共面。分析：要证 A，B，C， D 共面，只须证 共面，即找到惟一一对实数x，y，使 。证明：观察易得：即 。所以 共面，即 A，B，C，D 共面。点评：要证四点共面，可证从同一点出发的三向量共面，此时应注意待定系数法的使用。例 2. 如下图，已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 内的射影恰好是正方形的中心 O。Q 是 CD 的中点，求下列各题中 x，y 的值。（1） ；（2） 。分析：要求 x，y 的值，实际上是求如何用 ， 来表示 ，用来表示 。解：（1）所以（2）因为 ，所以 。又
11、，所以 。所以所以 。点评：空间任一向量都可以用基底惟一表示，所以将 用基底 表示，其系数是惟一的。解题中应多注意结合图形使用加法、减法、数乘等运算法则。例 3. 已知空间三点 A（2，0，2），B （1，1，2），C（3，0，4），设。（1）设 ，求 ；（2）求 ；（3）若 与 互相垂直，求 k。解：（1）因为 =（2，1，2）且 ，所以设所以解得所以 =（2，1，2）或 =（2，1，2）。（2） =（1，1，0）， =（1，0，2）所以因为 ，所以（3）易知又所以即解得 或 。点评：在运用夹角公式求解时，应注意角的范围。通过列方程、解方程解决问题，这种思路在解决空间向量问题时应用十分广泛。
12、（十一）空间向量在立体几何中的应用由于向量具有“形（几何形式）神（坐标形式）兼备”的特征，且向量以及向量平行、垂直的充要条件都具有坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个实数，而且与向量夹角的余弦值紧密相关，这使得它成为沟通数学各个分支，加强数学知识之间横向联系的桥梁和纽带。从近几年全国及单独命题的省、市高考题中可知，空间向量在立体几何中的应用是高考必考内容。解决立体几何问题时，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中，两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题。一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅
13、降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为我们提供了崭新的视角，丰富了思维结构。专题一：向量与平行关系例 1. 已知正方体 的棱长为 1，E，F，G 分别为 AB，AD， 的中点，求证：平面 EFG/平面 。证明：建立如图所示的空间直角坐标系 。则 A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0）， （1，0，1），（ 1，1，1）， （0，0，1）。于是得 E（1， ，0），F （ ，0，0），G（1，0， ）。设 为平面 EFG 的法向量， （ ）为平面 的法向量。则 ，且取 可得： =（1，1，1）， =（1，1，1）。由 ，得平面 EFG/平面 。评注：设 分别为平
14、面 ， 的法向量，要证 /，只需证明：存在一个非零实数 ，满足 。本题也可转化为由线线平行证面面平行，即用向量证明 ，从而证明平面 EFG/平面 。专题二：向量与垂直关系例 2. 如图所示，在正方体 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 的中点，求证：平面 平面 GBD。分析：要证明平面 平面 GBD，只要证明平面内的一条直线 垂直于平面GBD 中的两条相交直线即可，而从图中观察，证 ， 较容易成功。证明：设则而所以又 BD OG=O所以 平面 GBD而 平面所以平面 平面 GBD。评注：向量 垂直于向量 的充要条件是 =0。据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂
15、直及两个平面垂直。在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零。专题三：空间向量与空间角1. 求异面直线所成的角。例 3. 在长方体 ABCD 中，已知 DA=DC=4， ，求异面直线 与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。解：如图所示，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC ， DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系 Dxyz。则 A1（4，0，3），B（4，4，0）， （4，4，3），C（0，4，0）于是 =（0，4，3）， =（4，0，3）设 与 的夹角为 ，则所以 与 的夹角大小为 。故异面直线 与 所成角的大小为 。评注：以向量为工具，利用空间向量的坐标表示以及数量积来求异面直线所成的角，思路自然，灵活简便。2. 求直线与平面所成的角。（略）3. 求二面角。例 4. 在直三棱柱 ABC 中，AB=BC，D，E 分别为 ， 的中点。若，求二面角 的大小。
