1、7 第 1 页 2017 年全国高中数学联赛模拟题 9 一试 考试时间上午 8： 009： 20，共 80 分钟 ， 满分 120 分 一、 填空题（共 8 题，每题 8 分， 64 分） 1、 ()fx是周期为 5 的奇函数， (1) 8f ，则 (2 0 1 0 ) (2 0 0 9 )ff 。 2、 设函数 313x xfx ，若 x 表示不大于 x 的最大整数，则函数 1122f x f x 的值域是 。 3、 0 , 1 2 3,x x x 为多项式 32 0x x x 的根，则1 2 3 1 2 31 1 1( ) ( )x x x x x x 4、 如图是一个数表，第一行依次写着
2、从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的 下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则 2000 在表中出现 次。 5、 已知二次函数 2 21f x x mx ，若对于 0,1 上的任意三个实数 ,abc，函数值 ,f a f b f c都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的 m 的值可以是 。 6、 若 0)( 55 yxyx ，则 y 。 7、 如图从第一格跳到第 8 格，规定每次只能跳一格或者 2 格，则不同的跳格方法总数为 。 8、 等比数列 na 中， 1 20101, 4aa，函数 1 2 2 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )f x x x a
3、 x a x a ，则函数在 (0,0) 处的切线方程为 。 二、解答题（共 3 题 ， 共 56 分） 9、 （本题 16 分） 如图，已知 O 为 ABC 的外心， ,abc分 别 是 角 A、 B、 C 的对边，且满足CO AB BO CA 。（ 1）推导出三边 ,abc之间的关系式；（ 2）求 tan tantan tanAABC 的值。 10、 （本题 20 分） 设直线 :l y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 22116 12xy交于不同两点 A ， B ，与双曲线 2214 12xy交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量0AC BD，若存在，指
4、出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 11、（本题 20 分） 已知函数 11fx x ， nN对 于 ，定义 11, nnf x f x f x f f x ，偶函数 gx的定义域为 0xx ，当 0x 时， 2009g x f x 。（ 1）求 gx；（ 2）若存在实数 ,ab a b 使得该函数在 ,ab 上的最大值为 ma ，最小值为 mb ，求非零实数 m 的取值范围。 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 112 144 7 第 2 页 2017 年全国高中
5、数学联赛模拟题 9 （二试） 9： 4012： 10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、（本题 40 分） 设 ABC 的外接圆、内切圆半径分别为 R 、 r 外心到重心的距离为 e ，内心到重心的距离为 f 求证： 2 2 2 2 4 ( )R e r f 2、（本题 40 分） 数列 na 满足： 1 3a ， 21 2 2 *n n na a a n N （ 1）求数列 na 的通项公式；（ 2）求证：数列 na 中的任两项互质。（ 3）记 112n nnb aa， nS 为数列 nb 的前 n 项和，求 2009S 的整数部分； 3、（本题 50 分）
6、 求证不等式：21 11 ln12nkk nk ， 1n ， 2， 4、（本题 50 分） 求满足 1161 |2 2005 n 的最小正整数 n 7 第 3 页 2017 年全国高中数学联赛模拟题 9 参考答案 一试 1、 8， (0 ) 0 , ( 2 0 1 0 ) ( 2 0 0 9 ) (0 ) ( 1 ) 8f f f f 2、 0， 1。 解：由已知得 10 1 , 1 , , 1 ;2f x f x f x f x f x 所 以 当 时 值 为 110 , 0 ; 1 , 0 ; 0 ,122f x f x 当 时 值 为 当 时 值 为 所 以 值 域 为 3、 1， 设
7、12, , , nx x x 为多项式的所有正根，由韦达定理有 1 2 31 2 1 3 2 31 2 31123x x xx x x x x xx x x （ ）（ ）（ ）2（ ） 变形为1 2 3 1 2 31 1 1 )x x x x x x （(3) 代入得1 2 31 1 1 1x x x 结合 (1) 得 12121 1 1( ) ( ) 1nn x x xx x x 4、 解：由数表推得，每一行都是等差数列，第 n 行的公差为 12n ， 记第 n 行的第 m 个数为 mnf , ,则 ,1 1,1 1, 2f n f n f n 2 1,1 1 ,1 12 1 ,1 2 2
8、2 4n nnf n f nfn 算得 2 1 2,1 1 2 , ,1 1 2 2 2 1n n nf n n f n m f n m m n n N 2 4 32 2 1 2 0 0 0 2 5 , 1 , 3 , 5 , 6n m n n 当 时 符 合 。答案为 4。 5、 22,0 内的任一实数。 解：由题意当 1,0x 时， m in 02 m in m a xfxf x f x ； 当 0m 时， m i n 0 1 02 m i n 2 m a x 1 2 2 0 ,f x ff x f x f m m 不存在； 当 1m 时， m in 1 2 2 0 342 m in 4
9、4 m a x 0 1f x f m mf x m f x f ，不存在； 当 102m时， 22m in 1 0 012 m in 2 2 m a x 1 2 2f x f m m mf x m f x f m ， 所以这时 102m； 当 1 12 m时， 22m i n 1 0 222 m i n 2 2 m a x 0 1f x f m m mf x m f x f ， 所以这时 1222m；综上所述 202m。 6、 0 解： 原方程可化为 5 5x y x y x x 考虑单调性 0x y x y 7、 完成从第一格 到第 7 格，每次跳一格，要跳 7 次才能完成。有 x 次跳 1
10、 格， y 次跳 2 格，则 2 7 ( , )x y x y N 7 第 4 页 当 1, 3xy时，有 14C 种跳法；当 3, 2xy时，有 35C 种跳法 当 5, 1xy时，有 56C 种跳法；当 7, 0xy时，有 77C 种跳法 共有 21 种跳法 8、 20102yx ， 1 2 2 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )g x x a x a x a 则 ( ) ( ) ( )f x g x xg x 切线斜率 5 0 5 2 0 1 01 2 2 0 1 0 1 2 0 1 0( 0 ) ( ) 2k f a a a a a 9、 解 :（ 1）取 AB、 AC 的中点
11、E、 F，则 2211() 22C O A B C E E O A B C E A B C B C A C B C A a b 同理 2212BO CA c a ； 所以 2222 cba （ 2） 22 2 2s i n s i nt a n t a n c o s c o s s i n 2t a n t a n s i n s i n c o s s i n s i n c o s 2B C AA A B C A ab c aB C B C A B C A bc bc 10、 由22116 12y kx mxy 消去 y 化简整理得 2 2 23 4 8 4 4 8 0k x k m x
12、 m 设 11Ax y， ， 22Bx y， ，则12 2834kmxx k 2 221 8 4 3 4 4 4 8 0k m k m 由2214 12y kx mxy 消去 y 化简整理得 2 2 23 2 1 2 0k x km x m 设 34Cx y， ， 44Dx y， ，则34 223 kmxx k 2 222 2 4 3 1 2 0k m k m 因为 0AC BD，所以 4 2 3 1 0x x x x ，此时 4 2 3 1 0y y y y 由 1 2 3 4x x x x 得 22823 4 3km kmkk所以 20km 或22413 4 3kk由上式解得 0k 或 0
13、m 当0k 时，由 和 得 2 3 2 3m 因 m 是整数，所以 m 的值为 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ，2 ， 3 当 0m ，由 和 得 33k 因 k 是整数，所以 1k ， 0 ， 1 于是满足条件的直线共有 9 条 11、 解：（ 1）因为 1 2 1 3 21 1 1 1, 111 111xf x f x f x f f x f x f f x xxxxxx xxxfx，fxxffxf 13,1 1 2200934 为周期所以迭代函数以 设 110 , 0 , 1xx x g x g xxx 则， 所以 11 , 011 , 0xxgxxx 图象如右： （ 2）因为 ,
14、 0 0 , 0a b m a m b m a b ； 又因为 0mb ，所以 ,1 ba （否则 0,0 mambm ，矛盾） 7 第 5 页 当 1111 , 1 ( , 1 ,11maaa b f x xmbb 则 在 上 是 减 函 数 由 题 意所以 21 1 1, 1 , 0 , 1a b m x x xx m m 是 方 程 的 两 不 同 实 根 在有两个不同实根， 214 01 1 11 1 0 041 12mmgmmmm 1111 0 , 1 ( 1 , 0 ) ,11.mbaa b f x xmabab 当 时 则 在 上 是 增 函 数 由 题 意不 合综上所述 1 0
15、4 m 。 二试 1、 证：设点 P 为平面 ABC 上任意一点， G 为 ABC 重心，则 3PG PA PB PC 2 29 ( )P G P A P B P C 2 2 2 2 ( )P A P B P C P A P B P A P C P B P C 2 2 2 2 2 23 3 3 ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P A P C P B P C 2 2 2 2 2 23 3 3P A P B P C A B A C B C 设 AB c ， AC b ， BC a ，则 2 2 2 2 2 2 213 ( )3P G P A P B P C a b c
16、 当 P 为外心 O 时， 2 2 2 2 213 3 ( )3e R a b c 即 2 2 2 2 21 ()9R e a b c 当 P 为内心 I 时， 2 2 2 2 2 2 213 ( )3f IA IB IC a b c 如图，内切圆 I 切三边于 D 、 E 、 F ，设 AE AF x，BD BF y， CD CE z而 2 2 2IA x r，从而 2 2 2 2 2 2 2 213 3 ( )3f r x y z a b c 2 2 2 2 2 2 2 211( ) ( )93r f a b c x y z 要证 2 2 2 2 4 ( )R e r f ，只要证 2 2
17、 2 2 2 24 ( ) x y z a b c DFEIAB C7 第 6 页 而 2x b c a ， 2y a c b ， 2z a b c 2 2 2 2 2 24 4 4 ( ) ( ) ( )x y z b c a a c b a b c 2 2 23 ( ) 2 ( )a b c a b b c c a 所以只要证： 2 2 2 2 2 23 ( ) 2 ( ) a b c a b b c c a a b c 只要证： 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a c 此式显然成立 2、 （ 1）解：因为 2 21 122 22 21 2 2 11 1 1 1 1 2
18、nn nn n na a a a a 当 11211, 1 2na 也成立，所以 1221nna ； （ 2）因为 1 1 1 2 2 1 2 2 12 2 2n n n n n n n na a a a a a a a a a 所以 1 2 2 1 2n n na a a a a， 因为 na 为奇数，所以对任意的 1 2 11, , , ,nnn a a a a 与 前 面 项 （ 3）解：因为 1 22n n na a a ，所以12 1 122n n na a a ，又因为 112n nnb aa， 所以122nnnb aa， 所以20102009 21 2 0 1 02 2 2222
19、 21S aa ，所以 2009S 的整数部分为 1。 3、 证明：首先证明一个不等式： ln(1 )1 x xxx ， 0x 事实上，令 ( ) ln(1 )h x x x ， ( ) ln(1 )1 xg x x x 则对 0x ， 1( ) 1 01hx x ，2211( ) 01 (1 ) (1 )xgx x x x 于是 ( ) (0) 0h x h， ( ) (0) 0g x g 在 中取 1xn得 1 1 1ln 11n n n 令21 ln1nn k kxnk，则1 12x， 1 2 1ln 111nn nxx nn 2 11nnn 2 0( 1)nn 因此1112nnx x
20、x 又因为 111l n ( l n l n ( 1 ) ) ( l n ( 1 ) l n ( 2 ) ) ( l n 2 l n 1 ) l n 1 l n 1nkn n n n n k 从而 1211 1ln 11nnn kkkx 1221 1ln 111nkknk k n 1 2111nkkkk 121 1( 1)nk kk 111( 1)nk kk 111n 4、 解：设 qn s 2 ， NS ， q不能整除2 则 Ass qn 116111611161 22 7 第 7 页 易知 A不能整除2 ,故 由 11 6 1211 6 12 220052005 sn ，故可设 sn 2 由 152161 5 ，下证 11612 25 ss 当 1n 时， 上式显然成立 假定 kn 时，有 11612 25 kk ， 则 当 1kn 时 1161116111611161 22222 1 kkkk 易知 11612 2 k , 以及 11612 25 kk 1161 2 1k26 k 则 5k 2005 k 2000 从而使 116122005 n 的最小正整数 n 为 20002
