1、第 1 页 共 12 页2.2.2 对数函数及其性质（一）隆湖中学教师 李江华教学目标（一） 教学知识点1 对数函数的概念；2 对数函数的图象与性质 （二） 能力训练要求1 理解对数函数的概念；2 掌握对数函数的图象、性质；3 培养学生数形结合的意识（三）德育渗透目标1认识事物之间的普遍联系与相互转化；2用联系的观点看问题；3了解对数函数在生产生活中的简单应用教学重点对数函数的图象、性质教学难点对数函数的图象与指数函数的关系教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系： bNaablog2、 的图象和性质)10(yx且a1 0a1图象654321-1-4 -2 2 4 60654321-1-4 -
2、2 2 4 60(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1性质（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 是分裂次数 的函数，这个函数可以用指数函数 = 表示yxyx2第 2 页 共 12 页现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到 1万个，10 万个细胞，那么，分裂次数 就是要得到的细胞个数 的函数根据对数的xy定义，这个函数可以写成对数的形式就是 .y2log如果用 表示自变量， 表示函数，这个函数就是 .xyx2l引出新课-对
3、数函数二、新授内容：1对数函数的定义：函数 叫做对数函数，定义域为 xyalog)10(且 ),0(学生思考问题：为什么对数函数概念中规定 ?1a例 1 求下列函数的定义域：（1） ； （2） ； logxya)4(logxya分析：此题主要利用对数函数 的定义域（0，+）求解解：（1）由 0 得 ,函数 的定义域是 ；2x02lxya0|x（2）由 得 ，函数 的定义域是 ；44)4(og4|（3）由 x-10 得 x1，函数 的定义域是 ,12对数函数的图象：通过列表、描点、连线作 与 的图象：xy2logxy21l思考： 与 的图象有什么关系？xy2logxy21l3， （1）根据对称性
4、（关于 x 轴对称）已知 y= x 的图像，你能画出 y= 的图像吗？3logx31log 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8 log )3(7y1log7xy第 3 页 共 12 页（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.（1） xy2log（2） 1（3） xy3l（4） 1og4对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质 a1 0a1图象32.521.510
5、.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域：（0，+）值域：R过点（1，0） ，即当 x=1 时，y=0 时 ),(x0时 时 )1,0(xy时性质在（0，+）上是增函数 在（0，+）上是减函数三、讲解范例：例 2比较下列各组数中两个值的大小： ； ； 5.8log,4.3l2 7.2log,8.1l3030 )1,0(9.5log,1.l aaa解：考查对数函数 ，因为它的底数 21，所以它在（0，+）上是增函数，xy2第 4 页 共 12 页于是 5.8log4.
6、3l22考查对数函数 ，因为它的底数 00.31，所以它在（0，+）上是减函xy3.0数，于是 7l.1l.30小结 1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤： 确定所要考查的对数函数； 根据对数底数判断对数函数增减性；比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小当 时， 在（0，+）上是增函数，于是 ；axyalog 9.5log1.laa当 时， 在（0，+）上是减函数，于是 10 小结 2：分类讨论的思想对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1而已知条件并未指明，因此需要对底数 a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握四、练习 1。 （P73、2）求
7、下列函数的定义域：（1）y= (1-x) (2)y= (3)y= 3logx2log1 x31log7（5 （6）3l)4()46(x )(l解：（1）由 1-x0 得 x1 所求函数定义域为x |x1；(2)由 x0，得 x1，又 x0 所求函数定义域为 x|x0 且 x1；2log(3)由 所求函数定义域为x|x ；3,031x得 31(4)由 x1 所求函数定义域为x|x1.1,log3得练习 2、 函数 的图象恒过定点（ ）)1,0(2)(l aya3、已知函数 的定义域与值域都是0，1 ，,ogx求 a 的值。 （因时间而定，选讲）五、课堂小结 对数函数定义、图象、性质；对数的定义，
8、 指数式与对数式互换；比较两个数的大小六、课后作业：第 5 页 共 12 页1阅读教材第 7072 页；2. 习案P191192 面。2.2.2 对数函数及其性质（二）教学目标1.教学知识点1 对数函数的单调性；2同底数对数比较大小；不同底数对数比较大小；对数形式的复合函数的定义域、值域； 对数形式的复合函数的单调性2.能力训练要求4 掌握对数函数的单调性；掌握同底数对数比较大小的方法；掌握不同底数对数比较大小的方法；掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5掌握对数形式的复合函数的单调性； 6培养学生的数学应用意识3.德育渗透目标1用联系的观点分析问题、解决问题； 认识事物之间的相互转化教学重
9、点1利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；2求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；3求对数形式的复合函数的单调性的方法教学难点1不同底数的对数比较大小；对数形式的复合函数的单调性的讨论教学过程一、复习引入：1对数函数的定义：函数 叫做对数函数，对数函数 xyalog)10(且 xyalog第 6 页 共 12 页的定义域为 ，值域为 )10(a且 ),0(),(2、对数函数的性质：a1 0a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域：（
10、0，+） 值域：R过点（1，0） ，即当 时， 1x0y时 ),(x0y时 时 )1,(x0y时 性质在（0，+）上是增函数 在（0，+）上是减函数3书 P73 面练习 35 函数 y=x+a 与 的图象可能是_xalog11o xy11o xy 11o xyy11o x二、新授内容：例 1比较下列各组中两个值的大小： ； （3）6log,7l6 8.0log,l236log,7.0,67.06.解： ， ， 1ll617l6l7llog76 ， ， 0og3308.22 8.23小结 1：引入中间变量比较大小:例 1 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，第 7 页 共 12 页当不能
11、直接比较时，经常在两个对数中间插入 1 或 0 等，间接比较两个对数的大小 练习： 1比较大小（备用题） ； ； 3.0log7.l430216.04.338log7l 1.0log.l230例 2已知 x = 时，不等式 loga (x2 x 2)log a (x2 +2x + 3)成立，9求使此不等式成立的 x 的取值范围.解：x = 使原不等式成立. log a log a 4 249)()3492)(1即 loga log a . 而 . 所以 y = logax 为减函数，故 0a1.1639163原不等式可化为 ， 解得 .3202xx2513x或故使不等式成立的 x 的取值范围是
12、 )5,(例 3若函数 在区间a，2a上的最大值是最小值的 3 倍，10(log)(afa求 a 的值。 （ ）42例 4求证：函数 f (x) = 在(0, 1)上是增函数.x1log2解：设 0x 1x 21，则 f (x2) f (x1) = = 212llxx21()logx.1log22x0x 1x 21， 1， 1. 则 0，221212lx f (x2) f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数例 5已知 f (x) = loga (a ax) (a1). （1）求 f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明 f (x)的单调性.解：（1）由 a1，a a x
13、0，而 aa x，则 x1. 故 f (x)的定义域为(1, +) ，而 axa ，可知 0a a xa， 又 a1. 则 loga(a ax)lg aa = 1.取 f (x)1，故函数 f (x)的值域为( , 1).（2）设 x1x 21，又 a1， ， a ，1x21x2x第 8 页 共 12 页log a (a )log a (a )，即 f (x1) f (x2)，故 f (x)在(1, +) 上为减函数.1x2x例 6书 P72 面例 9。指导学生看书。例 7 （备选题） 求下列函数的定义域、值域： ； ；)52(logxy )54(log231xy解： 对一切实数都恒成立， 函
14、数定义域为 R4122从而 即函数值域为 log)(l x ),2要使函数有意义，则须： ，51054052 xxx由 在此区间内 ， 51x 9)(ma942从而 即：值域为 ，9log)4(log3123 y定义域为-1,5，值域为 ),2例 8 （备选题）已知 f (x) = logax (a0，a1)，当 0x 1x 2 时，试比较 与 的大小，并利用函数图象给予几何解释.2(1xf)21f【解析】因为 212)()ffxf1212logloglaaax= 又 0x 1x 2，212121logloglogxxaaa x 1 + x2 2 0， 即 x1 + x22 ， 1. 211)
15、(x2121x于是当 a1 时， 0. 此时 21logxa)(21f)(1fxf同理 0a1 时 )(f )(21xff或：当 a1 时，此时函数 y = logax 的图象向上凸.显然，P 点坐标为 ，又 A、 B 两点的中点 Q 的纵坐标为 f (x1) + f (x2)，)2(1xf 2由几何性质可知 .)(21xff当 0a1 时，函数图象向下凹. 从几何角度可知 0，21logxa此时 )2(xf)(12xffBx1 x2xyQA(x1, f (x1) )(,212f(x2, f (x2)P第 9 页 共 12 页四、课堂小结：2 比较对数大小的方法；2对数复合函数单调性的判断；3
16、对数复合函数定义域、值域的求法五、课后作业1 习案P193 与 P195 面。备选题2讨论函数 在 上的单调性 （减函数）)1(log)(2xf )0,(3.已知函数 y= (2- )在0，1上是减函数，求 a 的取值范围a解：a0 且 a1,当 a1 时， 1a 2. 当 0a1 时， 0a1，综上述，0a1 或 1a22.2.2 对数函数及其性质（三）教学目标（一）教学知识点1了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2反函数的求法（二）能力训练要求1使学生了解反函数的概念； 2使学生会求一些简单函数的反函数（三）德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力教学重点1
17、反函数的概念； 2反函数的求法教学难点反函数的概念教学过程一、复习引入：1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数，即 s=vt，其中速度 v 是常量，定义域 t 0，值域 s 0；反过来，也可以由位移 s 和速度 v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即 ，这时，位移 s 是自变量，时间 t 是位移 s 的函数，定义域 s vt0，值域 t 0问题：函数 s=vt 的定义域、值域分别是什么？问题：函数 中，谁是谁的函数？vt问题：函数 s=vt 与函数 之间有什么关系？st第 10 页 共 12 页2、又如，在函数 y2x 6 中，x 是自变量，y 是 x 的函数，定义
18、域 x R，值域y R 我们从函数 y2x6 中解出 x，就可以得到式子 这样，对于 y 在 R 32y中任何一个值，通过式子 ，x 在 R 中都有唯一的值和它对应 因此，它也确定3了一个函数：y 为自变量，x 为 y 的函数，定义域是 y R，值域是 x R3、再如：指数函数 中，x 是自变量，y 是 x 的函数，由指数式与对数式的互a化有： 对于 y 在（0，+ ）中任何一个值，通过式子 ，x 在 R 中alogyalog都有唯一的值和它对应 因此，它也确定了一个函数： ，y 为自变量，x 为 yal的函数，定义域是 y （0，+ ） ，值域是 x R二、讲解新课：1反函数的定义一般地，设
19、函数 的值域是 C，根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把)(Axfx 表示出，得到 x= (y) 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x=(y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成f1f1f开始的两个例子：s= vt 记为 ，则它的反函数就可以写为 ，同样vtf)( vtf)(1记为 ，则它的反函数为： 62xy62)(xf 32)(1xf探讨 1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如 ，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，)(xfy 2xy， 有反函数是2),0探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系函数 )(xfy反函数 )(1xfy定义域 A C值 域 C A探讨 3： 的反函数是什么？)(1xfy若函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，)(1xfy)(1xfy)(xfy这就是说，函数 与 互为反函数 奎 屯王 新 敞新 疆)(f
