1、微积分（二） 考试题参考答案及评分标准 (A)一、填空题（共 8 个 题，每空 2 分，共 20 分）1. ; 2. ; 3. 2; 4. ;(,)0,1xyxy2zxy15. 1,1; 6. ; 7. , 2; 8. 0. 210(,)dfdx(1)n二、选择题（共 8 个 题，每小题 2 分，共 16 分）1. B; 2. A; 3. C; 4. B; 5. B; 6. D; 7. B; 8. A.三、计算题（共 6 个 题，每小题 8 分，共 48 分）1. 解 221lnln()zxyxy, (2 分) (2 分) 22z(2 分)22 2()(zxyyx(2 分)222()()yxy
2、xy2. 解 令 , 则 , 即uzFu(zxy(2 分) 2()()()zyxyFux(2 分) 1uu(2 分) ()()()zyxyxFxFux(2 分)2uz3. 解 由 可得()zfu(2 分)fx()zufy在方程 两边分别同时对 求偏导, 得()(yuPtdx(3 分)()ux()()uPyy于是 (1 分)()1uPx()1uPy故 . (2 分) ()()()()() 01zxPyyffx u4. 解 由 , 得交点 . (2 分)2y(0,)(4 分)21100sinsinxyxddy10()sin()xd(2 分)1si5. 解 积分区域为圆域. 令 (1 分) coin
3、xry积分区域 (2 分)(,),02s2Dr2sicoDydxrd(4 分)2s20in(1 分)2sid6. 解 (1) 解法一 111()(33nnnn其中级数 为公比为 的几何级数, 收敛. 级数 是交错级数. (4 分)13n 1()n令 , 显然 , 满足莱布尼兹判别定理, 所以 收na1,lim0nna 1(3n敛. 由级数的性质知, 原级数 收敛. (4 分)112()3nn解法二 , 用根值判别法. ()nnu(4 分)112()2()limlilim33nnnnnu所以原级数 收敛. (4 分)11()nn四、应用题（10 分）解 总收益 (,)09Rxy总利润 22142
4、30.1(3)Lxyxy(1 分)86.(1) , 解此方程组得 (2 分)0.106.xyLy 128xy2220.,0.1,0.6LLABCxxyy2.35,.6CA且故 为极大值点, 也是最大值点. 当 时, 该厂达到最大利润.18xy 128xy(2 分)(2) 根据题意知, 该问题是求利润函数在条件 下的条件极值问题0令 (2 分)22(,)40863.1.3(10Fxyxyxyxy 解方程组 , 得 (2 分).160.01yxFx5248xy故当 时, 该厂在条件 下达到最大利润. (1 分)52,48xy10xy五、证明题（共 4 分）证明 由于 收敛, 且 , 所以 收敛. (1 分)21n22()n21n又 收敛, 于是 收敛. (1 分)21na21()na又 22 20nnna即 (1 分)2221nnaa所以级数 收敛, 因而级数 绝对收敛. (1 分)21n21()nna
