1、七年级数学上册知识点总结(北师大版)第一章 丰富的图形世界1、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体） 、五棱柱、(按名称分) 锥 圆锥棱锥2、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。3、 点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。
2、能否举几个实例？4、正方体的平面展开图：11 种（分“一四一” “二三一” “二二二” “三三” ）圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。5、截一个几何体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。如果用一个平面截掉一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？6、从三个方向看物体的形状三个方向分别是：正面、左面和上面。从正面看到的图，叫做从正面看，也称主视图从左面看到的图，叫做从左面看，也称左视图从上面看到的图，叫做从上面看，也称俯视图例题： 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图：（ 1）请你画出这个几何体的其中
3、两种左视图；（ 2）若组成这个几何体的小正方体的块数为 n，请你写出 n 的所有可能值第二章 有理数及其运算1、有理数的分类(整数与分数统称为有理数。)正整数 整数 零 负整数 有理数正分数分数 负分数正有理数 也可按 有理数 零 进行分类。 负有理数 ， 5.2， 0， ， ， 22， ， 2005， 0.030030003正数集合： ；分数集合： ；非负整数集合： ；有理数集合： 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。数轴上两点表示的数，右
4、边的总比左边的大。正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则 AB=|a-b|，AB 的中点表示的数+2例题：操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） ，操作一：（ 1）折叠纸面，使表示的 1 点与 1 表示的点重合，则 3 表示的点与 表示的点重合；操作二：（ 2）折叠纸面，使 1 表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题： 5 表示的点与数 表示的点重合； 若数轴上 A、 B 两点之间距离为 11， （ A 在 B 的左侧） ，且 A、 B 两点经折叠后重合，求 A、 B 两点表示的数是多少3、相反数：如果两个数只有符号不同，那么
5、称其中一个数为另一个的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零 例题：若 x 的相反数是 3，|y|=5，则 x+y 的值为（ ）4、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，(注意|a|0） 。若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。例题： 若 |a|=a ， a 一定是（ ）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。互为相反数的两个数的绝对值相等。 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。5、有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号
6、，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为 0。加法交换律 加法结合律 ab )()(cbac6、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！7、有理数加减混合运算 一般统一成加法运算，从左到右的顺序，利用加法交换律和结合律简化运算。8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，积仍为 0。倒数：如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 ba)()(bca acb
7、a)(例题： 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 1，n 是有理数且既不是正数也不是负数，求 2014a+b+1+m2（cd ） 2014+n（ a+b+c+d）的值9、有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0。 注意：0 不能作除数。 除以一个数等于乘这个数的倒数。10、有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作 an 。a 叫做底数， n叫做指数。读作“a 的 n 次幂” 正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。可否分清 ， ， ；42324311
8、、科学记数法一般地，一个大于 10 的数可以表示成 的形式，其中 ，n 是正整数，这种记数方法叫做科学na1010a记数法。 （n=整数位数-1） 12、有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。第三章 整式及其加减1、 字母表示数字母可以表示任何数。2、代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要
9、使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式的书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 应写作 ；a3127数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4（a-4）应写作 ；注意：分数线具有4a“”号和括号的双重作用。在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。)(2ba3、整式：单项式和多项式统称为整式。单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中
10、，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3.当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a 3b 的系数是 1。多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例题： 在代数式 a， ， ab， ab， ， x2+x+1， 5， 2a， 中，整式有 个；单项式有 个，次数为 2 的单项式是 ；系数为 1 的单项式是 例题：已知 3a22ab37an1b2 与 322x3y5 的次数相等，则（ 1
11、） n+1= 4、整式的加减同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。把同类项合并成一项叫做合并同类项例题：某同学做一道数学题： “两个多项式 A、 B， B=3x22x6，试求 A+B”，这位同学把 “A+B”看成 “AB”，结果求出答案是 8x2+7x+10，那么 A+B 的正确答案是多少？合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。例题若 xm2y5 与 2xy2n+1 是同类项，则 m+n= 去括号法则根据去括号法则去括号：
12、括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“”号看成-1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。例题：已知： ，求： 3x2y2x2y+9x2y（ 6x2y+4x2） （ 3x2y8x2）的值5、探索与表达规律探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律 常见的几种数字规律形式：(2)新运算的规律新运算是 指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观
13、察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序例题：如果对于任意非零的有理数 a， b 定义运算如下： a b ab+ab已知 x23=5 ，则 x 的值为(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律第四章 基本平面图形1、线段、射线、直线名称 图形 表示方法 端点 长度直线lBA 直线 AB(或 BA)直 线 l 无端点 无法度量射线MO 射线 OM 1 个 无法度量线段lBA 线段 AB(或 BA)线段 l 2 个 可度量长度直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （两点确定一条直线。 ）（2）过一点的直线有无数条。
14、（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。例题： 已知线段 AB=10cm，点 C 是直线 AB 上一点， BC=4cm，若 M 是 AC 的中点， N 是 BC 的中点，则线段 MN 的长度是（ ）已知点 A、 B、 C 都是直线 l 上的点，且 AB=5cm， BC=3cm，那么点 A 与点 C 之间的距离是 2、比较线段的长短线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （两点之间线段最短。 ）可否举几个例子？（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。线段的中点：如果点 M 把
15、线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，则点 M 叫做线段 AB 的中点。如果 M 是 AB 的中点，则 AM = BM =1/2AB （或 AB=2AM=2BM） 。例题：乘火车从 A 站出发，沿途经过 3 个车站方可到达 B 站，那么 A， B 两站之间需要安排（ ）种车票例题： 如图，已知点 C 为 AB 上一点， AC=12cm， CB=0.5 AC， D、 E 分别为 AC、 AB 的中点，求 DE 的长3、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。角的表示角
16、的表示方法有以下四种：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如， 等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等。注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。角的度量角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1”，n 度记作“n” 。把 1
17、的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1” 。把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1” ”。1=60，1=60” 4、角的比较二种方法进行比较：一种是度量法：用量角器量出它们的度数，再进行比较；另一种是叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小。角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。5、多边形和圆的初步认识多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从一个 n 边形的同一个顶点出发，分别
18、连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个 n 边形分割成（n-2）个三角形。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形圆：平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点 O 称为圆心，线段 OA 的长称为半径的长（通常简称为半径） 。 圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA、OB 所组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。第六章 数据的收集与整理1、数据的收集通过调查、试验等方式获得数据信息，当调查或试验项目很大，还可以通过查阅报纸、相关文献或上网的
19、方式，获得数据信息2、普查与抽样调查为了特定目的对全部考察对象进行的全面调查，叫做普查。其中被考察对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察对象称为个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。普查的优缺点：数据比较准确，能直接获得总体的情况，但工作量大，有时且有破坏性，有一定的客观条件的限制。抽样调查反之。抽样调查时要注意样本的代表性和广泛性。3、 数学的表示扇形统计图扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 （各个扇形所占的百分比之和为 1）圆心角度数360
20、该项所占的百分比。 （各个部分的圆心角度数之和为 360）频数直方图频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。制作频数直方图的步骤：（1）确定所给数据的最大值和最小值；（2）将数据适当分组；（3）统计每组中数据出现的次数；4、各种统计图的特点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。常见计算 1.填空：(1) 如果 是同类项，那么 .23kxy与 k(2) 如果 是同类项，那么 . .4yab与 xy(3) 如果 是同类项，那么 . .123
21、237xyab与 xy(4) 如果 是同类项，那么 .64ky与 k一解答题（共 18 小题）1 （ 1） 7+35+20 （2）2 +（ 2 ）+（5 ） （5 ）（3 ） 4.25+（2.18） （2.75）+5.18 （4） （ ）2（ ） 2 （ 1） 24+（22） （+10）+（13） （2） （ 1.5）+4 +2.75+（5 ）（3 ） （8 ）+（7.5）+（ 21 ）+（+3 ） （4 ） （24）（ + + ）3 （1） （ 2）25 4 （ 1） （1） 4+（1 ）3（2 23） ； （2） （ + ）（12） 5 （1）19 +（ 6）+（ 5）+（3 ） （2）
22、（ 81） （ 16）（3 ） （24）（ ） （4 ）|5 |+（3） 3（2 2）（5 ） 14（1） 32（ 3） 2 （6） 99 366先去括号、再合并同类项2 （ ab+c）3（a+b c） 3a2b2ab22（a 2b2ab2）7已知|a +2|+（b+1） 2+（c ） 2=0，求代数式 5abc2a2b3abc（4ab 2a2b）的值8 9a27a2+2a（a 2+3a），其中 a=1 、9先化简，再求值： （3a 24ab）+a 22（2a+2ab ） ，其中 a=2，b=1 10化简：（1）2（2a 2+9b）+3（5a 24b） （2）2a 3b+4a（3ab）11若（
23、a +2） 2 与 2|3ab|互为相反数，求 32（2ab）3（a 2b） 4（a +2b）的值13解下列方程（1） （2） （3）3（x2）2（4x1）=11（4）3 15 （1 ）2 （x2）3 （4x1）=9（1x） （2） （x+15）= （x 7）（3） =0.25x（4） = + 1某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？2下表为深圳市居民
24、每月用水收费标准， （单位：元/m 3） 用水量 单价 档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）x 22 a 第一档 小于等于 200 0.55剩余部分 a+1.1 第二档 大于 200 小于 400 0.6第三档 大于等于 400 0.85（1 ）某用户用水 10 立方米，共交水费 23 元，求 a 的值；（2 ）在（1 ）的前提下，该用户 5 月份交水费 71 元，请问该用户用水多少立方米？3为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：例如：一户居民七月份用电 420 度，则需缴电费 4200.85=357（元） 某户居民五、六月份共用电 500 度，缴电费 290
25、.5 元已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度问该户居民五、六月份各用电多少度？4情景：试根据图中信息，解答下列问题：（1 ）购买 6 根跳绳需 元，购买 12 根跳绳需 元（2 ）小红比小明多买 2 根，付款时小红反而比小明少 5 元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由5甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快 200m，两人同时从起点同向出发，经过 3min 两人首次相遇，此时乙还需跑 150m 才能跑完第一圈（1 ）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2 ）若两人相遇后，
26、甲立即以每分钟 300m 的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过 1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？11问题引入：（1 ）如图，在ABC 中，点 O 是ABC 和ACB 平分线的交点，若 A= ，则BOC= （用 表示） ；如图，CBO= ABC，BCO= ACB，A= ，则BOC= （用 表示）拓展研究：（2）如图， CBO= DBC，BCO= ECB，A=，请猜想BOC= （用 表示） ，并说明理由类比研究：（3）BO、CO 分别是ABC 的外角DBC、 ECB 的 n 等分线，它们交于点O，CBO= DBC ，BCO= ECB ，A=，请猜想BOC= 12在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C ，其中 AB=2，BC=1，如图所示，设点 A，B，C 所对应数的和是p（1 ）若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点，p 又是多少？（2 ）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p
