1、Ch3、中值定理与导数的应用1、中值定理一、罗尔定理若 满足在 上连续；在 内可导； ，则在 内至)(xfba,ba, )(bfafa,少存在一点 。0)(,f使证：因 ，故 在 上有最大值 、最小值 ，,baCfxf,Mm若 ，对任意 ，均有 ，结论成立。mM则 ),(0)(f若 ，因 ，故 不能同时等于 ，)(ff bfaf和 和不妨设 ，即 内部一点 处取最大值。f)(,在当 0)(,)(li0,0 fxfxxx 即时同理可证 ，又 在 内可导，故 ，即 。)(f)(fba, 例 1、验证罗尔定理对 上的正确性。65,sin)(在xf证：条件验证，内 可 导上 连 续在为 初 等 函 数
2、 65,65,sin)(xf，即满足罗尔定理条件。2ln65ff且结论验证，显然有 ，故得证。xxfcotsin1)( 0)(65,2f使（既要验证条件，又要验证结论）例 2、设 的实数，证明方程0132, 1010 naaan 为 满 足在内 至少有一个实根。210 xxa ,证：设 13210)( nxaf 则 在 上连续，在 内连续，且 ，x,00)(f132)1(10naaf2由罗尔定理，至少有一个 使1,0 0)(210 naaf 即 在内 至少有一个实根。210 nxaxa ,二、拉格朗日中值定理若 满足在 上连续；在 内可导，则至少存在一点 ，使)(fb,ba, ba,。abf)
3、(f证：令 )(xfaxF则 在 上连续，在 内可导，且)(b,b, )(bFa由罗尔定理，至少有一个 使0)(即 。)(faf 因 ，故 可记为 。b, 1),(其 中ab 本定理的一般形式为 ，xfyxffxf )(或使。10,x其 中例 3、设 在 上连续，在 内可导，证明在 内至少存在一点 ，)(xfba,ba, ba,使 。)()(fff证：令 ，则 在 上连续，在 内可导，)(fFxF,由 Lagrange 定理，有 使 ，ba)()(Fa即 )()(ffabff 例 4、设 ，证明1,n )()(11 banbabnn 证：令 ，则 在 上连续，在 内可导，xf)()(fa,故有
4、 使ab, 1nf又 ，故11nn 1)(nabfb即 )()(1 an定理：在区间 上， 的充要条件是I0(xf Cxf(证：充分性显然，下证必要性。由 知， 满足 Lagrange 定理条件，0)(xf)f对任意 ，有 ，I21, 0)()(2121 fff使得 ，从而 。ffx例 5、证明： ,arcosrsinx3证：令 2arcosrsin)(xxf则 Cxf )(,0112得又 2,arcos0rsin)(f 即故 ,acxx同理可证 tt三、柯西中值定理若 满足在 上连续；在 内可导； ，则至少存在)(,xFfba,ba, 0)(xF一 ，ba。)()(ff使证：令 ，)()(a
5、FxabFfafx则 在 上连续，在 内可导，且 ，)(b, b由罗尔定理，至少有一个 使 ，0)(即 。)()(Ffaf例 6、设 在 上连续，在 内可导 ，证明在 内至少存在一点 ，xfb,ba,)0(ba, 使 。)()(22faf证：令 ，则 、 在 上连续，在 内可导，且2FxfF, 02)(xF由柯西定理，有 使 ，b,)()(Ffaf即 )(22fafb2、洛必达法则1、 型0定理 1：若 ； ；0)(lim)(lixFf 0)()(,xFxf可 导 且 ，则存 在 或 为)(limxFf lif证：下设极限过程为 ， 时同理可证。ax4因 ，0)(lim)(lixFfaax故
6、为、 的连续点或可去间断点，从而可得 。0)(aFf设 为 邻域内一点，且 ，则 、 在 上连续，在 内可导，a)(xfFxa,x,且 ，则柯西定理0)(xF)(,)( fxfFfaf 即又 时， ，且x存 在 或 为)(limfax故 。)(li)(li)(limFffFfaxaax 注：在实际运用时，只要极限为 型，即可试用法则。0在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。例 1、 xexsin2lim0解：原式 2coslimsinlco1li 000 xexexx例 2、 xarcxtlnim解：原式 1lim1liot1li 22xxrxx例 3、 22sinlimx
7、解：原式 812cslim412cotli41)(cosinl2 xxxxx 2、 型定理 2：若 ； ；)(lim,)(lixFxf 0)()(,xFxf可 导 且5 ，则存 在 或 为)(limxFf )(lim)(lixFfxf例 4、 )0lnix解：原式 01lilili1 nxnxnx例 5、证明 存在，但不可用洛必达法则计算。xsilim证： xxx cos1liinli 试 用因为 不存在也不为 ，故不可用洛必达法则计算。xcos1l但此极限存在，事实上原式 0sin1sin,01sin1limxxxxx3、其它未定型极限中共有七种未定型 00,1,0, 型00例 6、 lni
8、m0xx 0lim1linli200 xxx例 7、 1lim1liarctnliarct2li 22 xxxxxxx 0型例 8、 21li1lni0ln)1(lim1lnim11 xxxx xxx6 )(00,1xgf记 为型型总 是易 证利 用 对 数 恒 等 式 0)(ln,)(ln)( xfgexf例 9、 1lim0li im0lsilmlsin0sin 00 exxx xx例 10、 01arctnl2li0arctn2li1arct2li xxxxx xe21arctnlim1arctnlim22 eeexxxx例 11、 1sinlm1cstanlimlnot0ln10 20
9、20icotli eexxxxxx xx3、泰勒公式1、Taylor 中值定理定理：若 在 的某邻域内有 阶导数，则在该邻域内)(xf01n)()(!)()!1 )(!2)000)(10( 00)(2xRxkfxnf xnffnk n 称为余项， 介于 之间。)(xRn 与 拉格朗日公式)()(,000xfxff时显然余项 。nno可 记 为2、麦克劳林公式若 ，则0x )(!)0(!2)0()(0)( xRnfxffxf n此式称为 阶麦克劳林公式。n例 1、求 的麦克劳林公式)(xf exsin)1ln()xfRxf)1(解： ， ，xkf)()0(kf !0kk7故 )(!21)(!0
10、nnnkx xoxxRe ， ， si)(kf 2si)0(kfk故 )(!12()!53)()!12()in0 nmnkm xoxxRxx 同理 )!()!42()!(cos0 nmnnkm x ， ，kkxxf)1()() )1()0(kfk kfk1)!0故 )()(32()1ln( 11 nknnkk xoxR ， ，kkxf )1)()( 0)(f!0)( k故 21 !)1(1)(!)1()()( xxRxx nnk knok例 2、用 Taylor 公式求极限 xxsin1lim0 420coslixe解：原式06lim!3limsil 2302300 xoxoxxx原式4 42
11、2420 !1!1limxxoox 81212lim824lim4040 xoxoxx4、函数单调性的判定1、定理 1：若在区间 内 （ ） ，则 在区间 上单调增加（减少） 。I)(xf)(xf)(xfI证：任取 ，则由拉格朗日定理，2121,x且 )(2121 xfff 若 ，则 ， 在 上单调增加；0)(f )(ff(fI若 ，则 ， 在 上单调减少。x例 1、判定函数单调性 7186223xxy32y解： )1(6 x当 时， ；当 时，或 030y故 内单增，在 内单减。,在 , ，当 时， ；当 时，312xy yx故 内单减，在 内单增。0,在 ,02、用单调性证明不等式（重要）
12、例 2、证明不等式 )0(2)1ln(xx 202tansi xx证：令 ，则 ，即 单增l)(xf1f )(f又 ，故 ，即00)(,x时 ln(x再令 ， ，即 单增2)1ln()xg 0112g )(xf又 ，故 ，即0)(0)(,x时 2)ln(x从而 2)1ln(x令 ，则 ftasi 2cos12seco)( xxxf9，即 单增0cos12x)(xf又 ，故 ，即0)(f 0,ff时 202tansi xx3、定理 2：单调函数在其单调区间内最多只能有一个零点。例 3、证明 只有一个实根。xsin证：令 ，则 在 上连续，f)()(xf1,且 ，故 内至少有一个零点，0sin,0
13、1i 1,)(在xf又 ，即 单减，,cosf f由定理 2， 内最多只能有一个零点，,)(在xf从而 有且仅有一个实根。sin5、函数的极值及求法1、极值的定义定义：若存在 的一个邻域，对此邻域内除 外的任何 ，均有 （0x0xx)(0xff） ，则称 为 的一个极大（小）点， 称为 的一个极大)(xf)(f0x)(f )(0（小）值。注：极值是局部性概念，仅在 附近考虑；而最值是整体性概念，要在整个区间考虑。2、函数取得极值的必要条件定理 1：若 在 处可导，且在 处取得极值，则 。)(xf00x0)(xf证：不妨设 为极大点，即在 的某邻域内有 )f当 时， （保号性）0lim)(,)(
14、 0000xffxf x同理 ，又 在 处可导，即 ，故 。)(xf)(f )()(ff 0)(xf注：导数为零的点称为驻点，此时定理 1 可叙述为“对可导函数，极值点一定是驻点” 。若可导函数无驻点，则函数无极值。驻点不一定为极值点。10例如， 有驻点 ，但 不是极值点。,3,2xy0x千万不要误认为只有驻点才可能成为极值点，导数不存在的点也有可能成为极值点，即可能的极值点 )()(1可 疑 点导 数 不 存 在 的 点驻 点例如， ， 在 处不可导，但 在 处有极小值 0。01,xyxy0xy0x3、函数取得极值的充分条件定理 2：（判别法一）设 或 不存在)(0xf)(0xf若 时， ， 时， ，则 为极大点。0x)(f 0x若 时， ， 时， ，则 为极小点。f若在 两侧， 不变号，则 不是极值点。f0定理 3：（判别法二）设 0)(xf若 ，则 为极大点。0)(xf0若 ，则 为极小点。若 ，则需进一步判断。f4、求极值步骤求 。)(xf求出 的驻点及 不存在的点。)(xf用判别法一或判别法二判定上述点是否为极值点，然后求出极值。例、求极值 23xy32)(1xy)0(1xy解： ,6 驻 点法一： 为极大点，极大值为 00,0时时为极小点，极小值为,1时时 1法二： 06)1()(2yyxy故 为极大点， 为极小点。x1 ，332)( x处 不 存 在在 2)(xf
