1、 第 1 页 共 14 页七年级数轴经典题型总结( 含答案)【1 、数轴与实际问题】例 1 5 个城市的国际标准时间(单位:时)在数轴上表示如下,那么北京时间 2006 年 6 月 17 日上午 9 时应是( )A、伦敦时间 2006 年 6 月 17 日凌晨 1 时B、纽约时间 2006 年 6 月 17 日晚上 22 时C、多伦多时间 2006 年 6 月 16 日晚上 20 时D、首尔时间 2006 年 6 月 17 日上午 8 时解:观察数轴很容易看出各城市与北京的时差例 2 在一条东西走向的马路旁,有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校东 300 米处,商场在学
2、校西 200 米处,医院在学校东 500 米处。将马路近似地看成一条直线,以学校为原点,以正东方向为正方向,用 1 个单位长度表示100 米。 在数轴上表示出四家公共场所的位置。 计算青少年宫与商场之间的距离。解:(1)(2)青少年宫与商场相距:3(2)=5 个单位长度所以:青少年宫与商场之间的距离=5100=500(米)城市名称 时差 北京时间 当地时间纽约58= 13 17 日上午 9 时 913=4, 244=20 ,17 日晚上 20 时多伦多48= 12 17 日上午 9 时 912=3, 243=21 ,17 日晚上 21 时伦敦 08= 8 17 日上午 9 时 98=1,16
3、日凌晨 1 时首尔 98= 1 17 日上午 9 时 9+1=10,16 日上午 10 时京京京京京京京京京98-5 -4 0京京京京京京京京京京京x医 医医第 2 页 共 14 页练习1、如图,数轴上的点 P、O、Q、R、S 表示某城市一条大街上的五个公交车站点,有一辆公交车距 P 站点 3km,距 Q 站点 0.7km,则这辆公交车的位置在( )A、R 站点与 S 站点之间 B、P 站点与 O 站点之间C、O 站点与 Q 站点之间 D、Q 站点与 R 站点之间解:判断公交车在 P 点右侧,距离 P:(1.3)+3=1.7(km),即在原点 O 右侧 1.7 处,位于Q、R 间而公交车距 Q
4、 站点 0.7km,距离 Q:0.7+1=1.7(km),验证了,这辆公交车的位置在Q、R 间2、如图,在一条数轴上有依次排列的 台机床在工作,现要设置一个零件供应站 ,使这5 P台机床到供应站 的距离总和最小,点 建在哪?最小值为多少?5PP解: (此题是实际问题,涉及绝对值表示距离,后面会有更深入的理解)此题揭示了,问题过于复杂时,要“以退为进” ,回到问题的起点,找出规律。后面你还会遇到这种处理问题的办法。(1)假设数轴上只有 A、B 二台机床时,很明显,供应站 P 应该是设在 A 和 B 之间的任何地方都行,反正 P 到 A 和 P 到 B 的距离之和就是 A 到 B 的距离,值为:
5、1(1)=2;(2)假设数轴上有 A、B 、C 三台机床时,我们不难想到,供应站设在中间一台机床 B 处最合适,因为如果 P 放在 B 处,P 到 A 和 P 到 C 的距离之和恰好为 A 到 C 的距离,而如果把P 放在别处,如原点处,P 到 A 和 P 到 C 的距离之和仍是 A 到 B 的距离,可是 B 机床到原点还有一段距离,这是多出来的,所以,P 设在 B 处时,P 到 A、B 、C 的距离总和最小,值为:2 (1)=3;(3)如果数轴上有 A、B 、C、D 四台机床,经过分析,P 应设 BC 之间任何地方,此时 P 到A、B 、C、D 的距离总和最小,值为: 4(1)+BC 距离
6、=5+1=6;(4)如果数轴上有有 5 台机床呢,经过分析, P 应设在 C 处,此时 P 到 5 台机床的距离总和最小,值为:AE 距离+BC 距离+CD 距离=9+1+2=12 ;(5)扩展:如果数轴上有 n 台机床,要找一点 P,使得 P 到各机床距离之和最小如果 n 为奇数,P 应设在第 台的位置18421-1EDCBA第 3 页 共 14 页如果 n 为偶数,P 可设在第 台和第( )台之间任意位置2n1规律探索无处不在,你体会到了吗?此题可变为:A、当 为何值时,式子 有最小值,最小值为多少?x|1|2|4|8|xxxB、求 的最小值。|1|2|3|.|617|3、老师在黑板上画数
7、轴,取了原点 O 后,用一个铁丝做的圆环作为工具,以圆环的直径在数轴上画出单位长 1,再将圆环拉直成一线段,在数轴的正方向上以此线段长自原点 O 起截得 A 点,则 A 点表示的数是_。解:由题知:直径为 1 个单位长度,那么半径为 的单位长度,圆的周长为: 个单1212位长度 圆从原点沿着数轴的正方向拉直,那么点 A 表示的数就是 要注意审题,此题告诉我们无理数也可以在数轴上表示出来。【2 、数轴与比较有理数的大小】例 3 已知 a、b 、c 在数轴上的位置如图。则在 , , , 中,最大的一个是1acba( )A B C D cc解: 应试法:设数代入计算下最快速,如设 a= ,b= ,C
8、= ,一下就可以得出答案 D451245正式的做法就是分析,a 是负数且介于 0 和1 之间,那么 是正数且大于 1, 是aaa 的相反数,应该在 C 附近, 显然也是小于 1, 由图知趋近于 0,综上,答案还是cbcD例 4 三个有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示,则( )A B1111bcabC Dcabcc解:应试法:设数代入计算下最快速,如设 c=1,b=2,c=4,代入计算,可以得出答案 B正式的做法就是逐个分析,采取排除法,跳出正确选项。1cb0a-1c b a第 4 页 共 14 页A 中, ,显然错误;0,0cabaB 中, , ,因此 B 对,1|,cabcabcba
9、与 都是负数,绝对值大的,反而小,取倒数,分母大的,反而小cabC、 D 为什么错自己试一试分析。练习1、己知 , 两数在数轴上对应的点如图所示,下列结论正确的是( ) 。abA B 0abC D0解:由题知 ,因此 A 对。2 个负数之积大于 0,故 B 错,数轴左边的数比右边ba的数小,所以 C 错,2 个负数之和还是负数,则 D 错。2、如图,数轴上 A、B 两点分别对应实数 、 则下列结论正确的是( )abA B 0abC D0解:由题知, ,故 B 错1 , ,则 ,故 A、D 错;|babab ,故 C 对0,03、若两个非零的有理数 a、b,满足:|a|=a,|b|=-b,a+b
10、0,则在数轴上表示数 a、b的点正确的是( )A、 B、C、 D、解:|a|=a,说明 ,|b|=-b,则 ,a+b0 ,说明 ,即 b 离原点更远0ab|a故 C 是对的【3 、寻找、判断数轴上的点】例 5 如图,数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别是 a、b、c,其中 AB=BC,如果|a|b|c| ,那么该数轴的原点 O 的位置应该在( )0b aB Aab-1 10第 5 页 共 14 页A、点 A 的左边 B、点 A 与点 B 之间C、点 B 与点 C 之间 D、点 B 与点 C 之间或点 C 的右边解:答案 D,用排除法例 6 如图,数轴上标出若干点,每相邻的两点相距一个单位长
11、度,点 A、B 、C、D 对应的数分别为整数 a、b、c、d,且 。试问:数轴上的原点在哪一点上?24da解:由于每相邻的两点相距一个单位长度所以有: ,代入式子3则 ,所以原点在 B 处1a练习1、在数轴上,坐标是整数的点称为“整点” 。设数轴的单位长度是 1 厘米,若在这个数轴上随意画出一条长 2008 厘米的线段 AB, 则线段 AB 盖住的整点至少有_ 个,至多有 个。解:2008 太大,以退为进,假设线段 AB 长为 1,易知 AB 盖住的整点至少有 1 个,至多有2 个假设线段 AB 长为 2,易知 AB 盖住的整点至少有 2 个,至多有 3 个,所以:本题,线段 AB 盖住的整点
12、至少有 2008 个,至多有 2009 个。2、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距 1 个单位,点 A、B 、C 、D 对应的整数a、b、c、d ,且 ,那么数轴的原点对应点是( ) 。9A、A 点 B、B 点 C、C 点 D、D 点解:由题知, ,代入4ba29ba则 ,所以原点是 C 点5,13、如图所示,圆的周长为 4 个单位长度,在圆的 4 等分点处标上字母 A,B ,C,D ,先将圆周上的字母 A 对应的点与数轴的数字 1 所对应的点重合,若将圆沿着数轴向左滚动,那么数轴上的2010 所对应的点将与圆周上字母所对应的点( )重合解:2010 到 1 之间有:1(2010)+1=
13、2012 个数A 对应 1,B 对应 0,C 对应1 ,D 对应2,以此类推,4 个数为 1 循环节A B C DM Na b c dDCBA第 6 页 共 14 页而 20124=303 余数 0,正好循环完,所以数轴上的2010 所对应的点是 D【4 、与数轴有关的计算】例 7 如图所示,在数轴上有六个点,点 所表示的数是 , 且F84AF,ABCDEF则与点 所表示的数最接近的整数是 。解:可用方程来做,没学就这么做因为 ,4F易知: =0.8 ,则 C 到 F:0.83=2.4 ,因为点 所表示的ABCDEF F数是 8所以点 C 表示的数: 8 2.4=5.6, 那么与 5.6 最接
14、近的整数是 6例 8 上午 8 点,某人驾驶一辆汽车从 A 地出发,向东记为正,向西记为负。记录前 4 次行驶过程如下:-15 公里,+25 公里, -20 公里,+30 公里,若要汽车最后回到 A 地,则最后一次如何行驶?已知汽车行驶的速度为 55 千米/小时,在这期间他办事花去 2 小时,问他回到A 地的时间?解:前 4 次行驶完成后,汽车位于: A 点东边 20 公里处152032若要汽车最后回到 A 地,则最后一次: ,即向西行进 20 公里总共路程: ,路上花费时间:11055=2 小时|152|03|期间他办事花去 2 小时,所以总共耗时 4 小时,他回到 A 地的时间:8+4=1
15、2练习1、如图,数轴上有 6 个点,且相邻两点间的距离都相等,则与 D 点所表示的数最接近的整数是_。解:AF= ,7(5)12ABCDEF则 =125=2.4ABEF则 A 到 C 距离:2.42=4.8,因为点 A 所表示的数是 ,所以点 C 表示的数是:554.80.2FEDCBA第 7 页 共 14 页故与 最接近的整数是 00.22、某一电子昆虫落在数轴上的某点 ,从 点开始跳动,第 1 次向左跳 1 个单位长度到 ,0k0 1k第 2 次由 向右跳 2 个单位长度到 ,第 3 次由 向左跳 3 个单位长度到 ,第 4 次由 向1k22k3k3右跳 4 个单位长度到 ,依此规律跳下去
16、,当它跳第 100 次落下时,电子昆虫在数轴上的落4k点 表示的数恰好是 2010,则电子昆虫的初始位置 所表示的数是_。10k 0k解:向左为负,向右为正,电子昆虫所走过的路程 S 为:S= =234.910(246.1)(35.9)其中 2+4+6+100= =2550)51+3+5+99= =2500(2故 S=25502500=50由题知: +50=2010,故 =19600k0k3、一青蛙要从 A 点跳到 B 点,以平均每分钟 2 米的速度跳跃。它先前进 1 米,再后退 2 米,又前进 3 米,再后退 4 米,(每次跳跃都在 A、B 两点所在的直线上)(1)5 分钟后它离 A 点多远
17、?(2)若 A、B 两点相距 100 米,它可能到达 B 点吗?如果能,它第一次到达 B 点需要多长时间?如果不能,请说明理由。解: (1) 5 分钟青蛙走过路程 S=52=10 米,路程 S 还可表示为:S=1|23|40设 A 点为数轴原点,记前进为正,后退为负,5 分钟后青蛙在: ,即 5 分钟后它离 A 点 2 米1234(2) 由第一问我们可以看出,青蛙每跳 2 次,从 A 点向 B 点前进 1 米,因为 AB 两点相距 100 米,所以青蛙要跳 200 次才可以到达 B 点,所以青蛙青蛙跳跃的总路程为 1+2+3+199+200=(1+200)2002=20100(米) ,则需要
18、201002=10050(分钟)第 8 页 共 14 页三、利用数轴,深入认识绝对值例 9 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2,3 与 5,2 与6,4 与3。并回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?_(2)| |的几何意义是数轴上表示_的点与_之间的距离;x按照(1)的理解, | |_| 0|( , , ) ;xx(3) 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离;则 _ 21;(4) 的几何意义是数轴上表示 _ 的点与表示 _ 的点之间的距离,x若 ,则 _ ;31x(5) 的几何意义是数轴上表示 _ 的点与表示 _ 的点之
19、间的距离,2x若 ,则 _ ;解:(1)相等,也就是说,数轴上二点间的距离与这两个数的差的绝对值相等;(2) | |的几何意义是数轴上表示 的点与原点之间的距离;| |=| 0|;xxx(3) 1;(4) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 3 的点之间的距离,x若 ,就是到 3 的距离为 1 的点,这样的点有 2 个,所以 =2 或 4;3 x(5) 可转化为 ,因此它的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之2|(2)|x 2间的距离,若 ,则 0 或4;x例 10 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离。mnmn(1)当 时,则 。1x2x(2)结合数轴求得 的最小值为_,取
20、得最小值时 的取值范围为3x_。(3)满足 的 的取值范围为_ 。41xx解:(1)将 直接代入 计算,结果:42第 9 页 共 14 页(2) 的几何意义:点 到点 2 的距离加上点 到点3 的距离。要使距离3xxx之和最小需分情况讨论:如图,当 ,3x如图,当 ,2如图,当 ,显然图时,距离之和最小,就是-3 与 2 的距离|-3-2|=5(3) 的几何意义:找出一个点 ,使得 到 与 到 的距离之和341xx1x4大于 3,按照(2)的分析,点 在 与 之间时, ,x413故点 只要不在 与 之间即可。所以 的取值范围是: 或xx4x1练习1、如图表示数轴上四个点的位置关系,且它们表示的
21、数分别为 , , , 。pqrs若 , , ,则 _ 。10pr12ps9qsqr解: 表示 P、r 之间距离 10,表示 P、s 之间距离 12,所以 r、s 之间距离是 2, ,表示 q、s 之间12ps 9qs距离 9,表示 q、r 之间的距离,它等于 q、s 间距离减去 r、s 间距离,即:272、不相等的有理数 , , 在数轴上的对应点分别为 A, B,C,如果 ,abc abca那么点 A,B,C 在数轴上的位置关系是( )A点 A 在点 B,C 之间 B点 在点 , 之间 AC点 在点 A,B 之间 D以上三种情况均有可能解: 的几何意义:a 点到 b 点的距离加上 b 点到 c
22、 点的距离之和等于 aabcsrqpx-32Ox- xx-32Ox第 10 页 共 14 页点到 c 点的距离。显然 b 点在 a、c 之间。3、 (1)阅读下面材料( 距离公式的证明,应该自己能分析):点 A、B 在数轴上分别表示实数 ,A、B 两点这间的距离表示为ba, AB当 A、B 两点中有一点在原点时,不妨设点 A 在原点,如图 1,此时 a=0, ;当 A、B 两点都不在原点时,O如图 2,点 A、B 都在原点的右边 ;babO如图 3,点 A、B 都在原点的左边 ;如图 4,点 A、B 在原点的两边 。aBA综上,数轴上 A、B 两点之间的距离 。b(2)回答下列问题:数轴上表示
23、 2 和 5 两点之间的距离是 ,数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 ,数轴上表示 1 和 3 的两点之间的距离是 ;数轴上表示 和 1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ,如果 ,那么 为 x 2ABx;当代数式 取最小值时,相应的 的取值范围是 ;2x求 的最小值。19731xx解:(1)数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 3,数轴上表示 2 和5 的两点之间的距离是 3,数轴上表示 1 和 3 的两点之间的距离是 4;(2)数轴上表示 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ,x|(1)|x如果 ,即到1 距离为 2 的点,有 2 个分别是 1、 3,所以 为;1 或 32AB xBAO aboB(A)O ob BAO oba BAO oba