1、优化系列（代数卷） 编写：江小谦方法篇第 1 讲 不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a0)0CByAx当 B0 时, 表示直线 上方区域; 表示直线0CByAx 0CByAx的下方区域.0cByAx当 B0 时, 表示直线 下方区域; 表示直线0yx的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量 x、 y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件. z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 z=Ax+By 又是关于 x、 y 的一次解析式，所以
2、又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（ x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（ ）和1,yx（ ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.2,yx线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式
3、组所表示的公共区域）.2.设 z=0，画出直线 l0.3.观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.考点 1 二元一次不等式 (组)与平面区域题型 1. 求约束条件及平面区域的面积优化系列（代数卷） 编写：江小谦例 1 .双曲线 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域，表示
4、该区域的不4yx2等式组是（ ）A. B. C. D. 3x0y3x0y3x0y3x0y【解题思路】依据平面区域的画法求解.解析 双曲线 的两条渐近线方程为 ，两者与直线 围成一个三角形区4yx2xy3x域时有 ，故选 A。30例 2.不等式组50xy表示的平面区域的面积为_【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.解析不等式 50xy表示直线 50xy上及右上方的平面区域, 0xy表示直线0上及右上方的平面区域, 3表示直线 3x上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图 8-3-1 中的阴影部分 ABC,其中(,)2A, (3),(8BC,故所求面积 1214ABCS题型
5、2.求非线性目标函数的最大（小）值例 3. 已知 ，求：（1 ） 的最小值;（2）2045xy2105zxy的范围21yzx【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标 、 、 (1,3)A(,)B(7,9)C（1 ） 表示可行域内任一点 到定点 的距离的平方，过 M22(5)zxyxy05M作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 的最小值是 z2N（2 ） 表示可行域内任一点 到定点 连线斜率的两倍；1()2yzx(,)xy1(,)QABC优化系列（代数卷） 编写：江小谦OyxACB430y1x52l04x+5y-200=03x+10y-3
6、00=0Ao10 xy10050203040因为 ， 故 的取值范围为 74QAk38Bz37,42考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题题型: 求目标函数的最值例 1. 设 zxy，式中变量 ,xy满足条件43521xy，求 z的最大值和最小值.【解题思路】按解题步骤求解.解析作出可行域如图 8-3-6 所示,作直线 0l:2xy上,作一组平行于 0l的直线 l： 2xyz， R，可知:直线 l往右平移时， t随之增大。由图象可知,当直线 经过点 (5,)A时，对应的 t最大，当直线 经过点 (1,)B时，对应的 t最小，所以， max2z， min213z考点 3 线性规划在实际问题中的
7、应用题型:在线性规划模型下的最优化问题.例 1.(2008揭阳一模 ) 为迎接 2008 年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 “中国印舞动的北京” 和奥运会吉祥物“ 福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1200 元，该厂月初一次性购进原料A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
