1、第十五讲 二次函数的图像与性质二次函数 图象的画法2yaxbc1、二次函数的表示方法：1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2abc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()yaxhkhk五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，2yx2()yaxhkcbxy2= abcxacbaxbaa 4)2()2()( 222 由此可见函数 的图像与函数 的图像的形状、开口方向均相同，cy2 2y只是位置不同，可以通过平移得到。2、二次函数 的图像特征bxa2（1）二次函数 ( a0) 的图象是一条抛物线；cy3、二次函数 的性质2axb1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶
2、点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；2bxayx当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 2bxay24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2xa24bac，当 时， 随 的增大而增大；2bxayx当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 2bxay24acb3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0xy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；0cy y0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为x负总结起来， 决定了抛物线
3、与 轴交点的位置cy例 1 已知函数 y= x2 -2x -3 , （1）把它写成 的形式；kmay2)(并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象的草图；( 5 ) 设图像交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 P 点，求 APB 的面积；（6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， y=0; y0.例 2、求抛物线 的对称轴和顶点坐标。25312xy变式：2、例 3、已知关于 x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2） ，且图像过点（1，-3 ） 。（1）求这个二次函数的解析式；
4、（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。变式：二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的24x120AxB， ， ， 12()x是一元二次方程 的两根这两点间的距离12x， 20abca. 2214AB 当 时，图象与 轴只有一个交点； 0x 当 时，图象与 轴没有交点.0x当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2 x 2. 抛物线
5、 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中2yaxbcabc， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；abc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母2(0)axbc的二次函数；下面以 时为例，
6、揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的0a内在联系：二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标， 一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值， 一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标， 一般
7、选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点， 常选用顶点式例 1、抛物线 y=x2-8x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 等于( )A.16 B.4 C.8 D.160抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.例 2、已知抛物线 2234yxk（k 为常数，且 k0） 证明：此抛物线与 x 轴总有两个交点；练习 1、已知关于 x 的二次函数 y=2x （3m+1）xm（m1）. 证明使 y=0 的 x 的值2
8、有两个；例 3、已知关于 x 的二次函数 yx 2（2m 1）xm 23m4.探究 m 满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数.例 4、已知：关于 x 的函数 的图象与 x 轴总有交点， 的取值范围是（ 72kxy k）A、 B、 且 0 C、 D、 且 0k74k4747k练习 1、关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶02nx nxy2点在（ ） 。A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限例 5、抛物线 2yxbc的部分图象如图所示，则方程 的两根为 .02cbx练习：二次函数 y=ax2bxc（a0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程 ax2bxc =0 的两个根；（2） 写出不等式 ax2bxc 0 的解集；（3） 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范值；（4） 若方程 ax2bxc =k 有两个不相等的实数根，求 k 的取什范围。 例 7：抛物线 与 X 轴的一个交点是 A(3，0） ，另一个交点是 B，且mxy2与 y 轴交于点 C，1 322（1）求 m 的值；（2）求点 B 的坐标；练习：课后练习：
