1、用专业的心，做专业的教育http:/自强不息 敢争第一1二 次 函 数主讲：陈老师一、定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx例：已知关于 x 的函数 ）当 a,b,c 满足什么条件时是 常 数a（1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数二、二次函数 是常数， 的性质cby,(2)0a（1）当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. 越大，开口越小。（2）顶点是 ，对称轴是直线），（ abc422abx2（3）当 时，在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大；
2、0a当 时，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随 x 的增大而减小。（4） 轴与抛物线 得交点为(0, ) cbax2c例：1、 （2011 四川重庆，7，4 分）已知抛物线 y ax2 bx c(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A a0 B b0 C c0 D a b c0练习：1、 （2011 山东威海，7，3 分）二次函数 23yx的图象如图所示当 y0 时，自变量 x的取值范 围是（ A ） A1 x3 B x1 C x3 D x1 或 x32、 （2010 湖北孝感，12，3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的
3、图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 ,2，下列结论：yxO山东威海题图轴 下 方轴 的 交 点 在， 抛 物 线 与 轴 上 方 ，轴 的 交 点 在， 抛 物 线 与 xy0用专业的心，做专业的教育http:/自强不息 敢争第一2ac0；a+b=0；4acb 2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线 .cbxay2 ），（ abc422abx2（2）配方法： 的顶点为( , )，对称轴是直线 .kh2hkh(3)利用交点式求对称轴及顶点： ，对称轴为21xay21x例
4、1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1） （2） （3）532xy 7)(2y )9(7xy例 2、2011 江苏淮安，14，3 分）抛物线 y=x2-2x-3 的顶点坐标是 .（1，4）四、抛物线的平移方法 1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法 2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”例 1、抛物线 经过怎样平移得到32xy 142xy答案：向右平移 3，再向下移 5 个单位得到；例 2、 （2011 四川乐山 5，3 分）将抛物线 2向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（A）A 2()yx B 2yx C ()yx D 2yx例 3、 （ 2011
5、重庆江津， 18，4 分）将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_.（y=(x-5) 2+2 或 y=x 2-10x+27）练习：1、抛物线 经过怎样平移得到32xy 142xy2、抛物线 向左平移 2 个单位，再向上移 3 个单位得到 ，求 b 和 c。xy23、 （2011 山东滨州，7，3 分）抛物线 2yx可以由抛物线 平移得到,则下列平移过程正确的是( B )A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 用专业的心，做专业的教育http:/自强不息 敢争第一3B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位
6、,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay(4)一般式与顶点式的变换例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：（1）已知抛物线过 )05(,303，）， ） ， （，（ （2）已知抛物线的顶点在 x 轴上，且过点（1，0） 、 （2，4） ；（3）已知抛物线的顶点坐标为（2，0） ，过点（1，4）例
7、 2、将 （ ）换 成 顶 点 式和 2262 xyxy 292,7)1(32xxyy）（练习：1、将 换 成 顶 点 式和 473542、 （2011 山东济宁，12，3 分）将二次函数 25yx化为 2()yxhk的形式，则y（2()1x）七、 与一元二次方程 的关系2cbax0a )0(2acbxa40 0 002cbxa)(方程有两个不相等的实数根 x21， 方程有两个相等的实数根 x21方程没有实 数根抛物物与 x 轴有两个交点 ），（， 0)(21BA抛物物与 x 轴只有一个交点 )0(1， 抛物物与 x轴没有交点cbxay2)0(214用专业的心，做专业的教育http:/自强不息
8、 敢争第一4韦达定理： （二者都可以用）acbx2121，例 1、（2011 台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数 228931 xy的图形画在坐标平面上，判断方程式 089322 x的两根，下列叙述何者正确？（ A ）A两根相异，且均为正根 B两根相异，且只有一个正根 C两根相同，且为正根 D两根相同，且为负根例 2、.抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 AB 的长为 4 ，三角形32xyABC 的面积是 6 。 练习：1.已知二次函数 的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图2 a象与 x 轴的交点的个数 （ ，两个交点）2xy2.
9、（2011 湖北襄阳，12，3 分）已知函数 12)3(xky的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ B ）A. 4kB. 4kC. 4k且 D. 4k且 33、 （2011 广东东莞，15，6 分）已知抛物线 21yxc与 x 轴有交点(1)求 c 的取值范围；(2)试确定直线 y cx+l 经过的象限，并说明理由八、二次函数的应用1、求 是常数， 最大值或最小值cbaxy,(2)0a ，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时 x 等于顶点的横坐标；0a ，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时 x 等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积底 21高3、利润问题：
10、利润销量 （售价进价）其他4、拱桥问题用专业的心，做专业的教育http:/自强不息 敢争第一5例 1、 （2011 广东肇庆，10，3 分）二次函数 52xy有（ D ）A 最大值 5B 最小值 5C 最大值 6D 最小值 6例 2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m） ，要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为 x（m） ，余下的可耕地面积为 y（ ） 。2（1） 请你写出 y 与 x 之间的解析式；（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为 1m 时，余下的可耕地面积为多少？（3） 若余下的耕地面积为 4408 ，求此时水渠的宽度。2例 3、某商场以每
11、件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 m（件）与每件的销售价 x(元) 满足一次函数：m=162-3x.（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式；（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品。据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1） 当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润；（2） 设销
12、售单价为每千克 X 元，月销售利润为 Y 元，求 Y 与 X 的函数关系式(不必写出 X的取值范围） ；（3） 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1） 在比例图上，以直线AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；用专业的
13、心，做专业的教育http:/自强不息 敢争第一6)25(109258xxy （2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结4.12果精确到 1 米） 38571.23、. 如图 6，一单杠高 2.2m，两立柱之间的距离为 1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高 0.7m 的小孩站在离左边立柱 0.4m 处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。 （答案：0.2m ）图 6附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka ( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，
