1、一、知识点讲解：1二次根式：一般地，式子 叫做二次根式.注意：（1）若 这个条件不成立，)0a(, 0a则 不是二次根式；（2） 是一个重要的非负数，即； 0.a2重要公式：（1） ,（2） ；注意使用 .)0a()(2)0a(a2 )0a()a23积的算术平方根： ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平)b,b方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4二次根式的乘法法则： .)0,a(a5二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6商的算术平方根： ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除
2、以)0b,a(b除式的算术平方根.7二次根式的除法法则：（1） ；)0b,a(b（2） ；),(（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8常用分母有理化因式： ， ， ，它a与 ba与 bnambna与们也叫互为有理化因式.9最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于 2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根
3、式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.二、典型例题： 知识点一 二次根式的定义形如 的式子，叫做二次根式)
4、0a(,（1）二次根式 中，被开方数必须是非负数。即a 0a（2）二次根式 是一个非负数，即； 0.a例题 1.下列式子中，是二次根式的是（ ）A.- B. C. D.x73x2、下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个15a21b2ab20m14数是（ ）.A.4 B.3 C.2 D.1知识点二 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件： 被开方数必须是非负数 即 有意义a0例题 1（2010 年无锡）使 31x有意义的 x的取值范围是（2010，安徽芜湖）要使式子 2a有意义，a 的取值范围是（2010绵阳）要使 123x有意义，则 x 应满足知识点三：三个具有非负性的知识点例题：若
5、 ，试求 的值.cba6942122 22cba若 y= 5x+ x+2009，则 x+y= 知识点四：最简二次根式例题 1：下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、73212例题：在根式 ； ； ； 中，最简二次根式有2ba5xxy2abc7._知识点五：同类二次根式例题 1：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A、 与 B、 与 C、 与 D、 与3831ba221a例题 2：若最简二次根式 与 是同类项二次根式，则 ，ab_._b知识点六：二次根式的性质（1） （2） （3）000被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简
6、二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式（1） （2）)0()(2a)0(a（3） 2a)0(例题 1： ，求 的值.9)9(xx 123)(2x例题 2：若 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简 =（ ba, 22baba）A、 B、 C、 D、2a2a2知识点七；分母有理化及有理化因式例题：在化简 时，甲、乙两人的解法如下：231甲： 23)(乙： )()23(1对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ ）A、甲、乙两人的解法都正确 B、甲正确，乙不正确C、甲、乙两人都不正确 D、甲不正确、乙正确变式题：小明与小红在化简 时，两人解法如下：nm小明： nnm
7、)(小红： n)(对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ ）A、小明、小红两人的解法都正确 B、小明正确，小红不正确C、小明、小红两人都不正确 D、小明不正确、小红正确0（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.知识点八：根号的外移与内移例题 1：将 根号外的 移到根号内，得到的值是 .a _例题 2：把 根号内的因式移到外面，得到的值是 .1)( _知识点九：二次根式的运算例题 1：已知 ， ，则 的值等于 .0baab6b_例题 2：计算（1） （2）8)3(12 32)145
8、0183(例题 3：在实数范围内分解因式：（1） ；（2）_342x_49y例题 4：比较大小：（1） （2）45_4103_25因式外移与内移：（1）被开方数中有的因式能够开得尽，那么就可以用它的算求平方根代替而移到根号外面.（2）被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面(1)二次根式的加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即： ).0,(baba )0,(baba(3)二次根式的除法：通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化
9、去(或分子、分母约分)把分母的根号化去，并将结果写成最简二次根式.即： ，),()0,(b例题 5： 的整数部分是 ，小数部分是 .6_三、针对性训练：21.1 二次根式：1. 使式子 有意义的条件是 。4x2. 当 时， 有意义。_21xx3. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm4. 当 时， 是二次根式。x2x5. 在实数范围内分解因式： 。429_,_x6. 若 ，则 的取值范围是 。24xx7. 已知 ，则 的取值范围是 。8. 化简： 的结果是 。21x9. 当 时， 。1525_x10. 把 的根号外的因式移到根号内等于 。a11. 使等式 成立的条件是 。11xxA12. 若
10、 与 互为相反数，则 。ab24b205_ab13. 在式子 中，二次根式有（ 230,1,1,xyxxy）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 732m21aab15. 若 ，则 等于（ ）23a223aA. B. C. D. 5151a16. 若 ，则 （ ）42AAA. B. C. D. a2a2a2417. 若 ，则 化简后为（ ）13A. B. 1aC. D. a18. 能使等式 成立的 的取值范围是（ ）2xxA. B. C. D. 02219. 计算： 的值是（ ）21aaA. 0 B. C. D.
11、或444a20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）A. B. C. D. 123421. 若 ，求 的值。40xyxy22. 当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。a21a23. 去掉下列各根式内的分母：21.30yx51.x24. 已知 ，求 的值。2121x2312 25. 已知 为实数，且 ，求 的值。,ab110ab2056ab21.2 二次根式的乘除1. 当 ， 时， 。0ab3_ab2. 若 和 都是最简二次根式，则 。2mn32mn _,_mn3. 计算： 。;3694. 计算： 。48327_5. 长方形的宽为 ，面积为 ，则长方形的长约为 （精确到 0.01）
12、 。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 21a21x24b0.1y7. 已知 ，化简二次根式 的正确结果为（ ）0xy2yA. B. C. D. yy8. 对于所有实数 ，下列等式总能成立的是（ ）,abA. B. 22abC. D. 29. 和 的大小关系是（ ）23A. B. C. D. 不能确定2323210. 对于二次根式 ，以下说法中不正确的是（ ）9xA. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 311. 计算：1.2332.5x33.540,abab364.0,abb2125.355326. baba12. 化简
13、：351.0,ab2.xy321.a13. 把根号外的因式移到根号内：1.512.x21.3 二次根式的加减1. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）3A. B. C. D. 24123182. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与 是同类二次根式80C. 与 不是同类二次根式215D. 同类二次根式是根指数为 2 的根式3. 与 不是同类二次根式的是（ ）3abA. B. C. D. 2ba1ab3ba4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 0.b122xy25b5. 若 ，则 化简的结果是（ ）1x241xA. B. C
14、. 3 D. -326. 若 ，则 的值等于（ ）2810xxxA. 4 B. C. 2 D. 47. 若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）3y3xyA. B. C. 1 D. 338. 下列式子中正确的是（ ）A. B. 5272abC. D. axbax683429. 在 中，与 是同类二次根式的是 。8,12,0210.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。15a34ba_,_ab11. 一个三角形的三边长分别为 ，则它的周长是 cm。8,1,8cmc12. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。24a26313. 已知 ，则 。3,xy3_xy14. 已知 ，则 。21_x15. 。2003A16. 计算：. . 12254831485233
