1、121.1 一元二次方程 【教学目标】知识与技能1.了解整式方程的意义,理解一元二次方程及其有关概念;2.掌握一元二次方程的一般形式,能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容;3.了解一元二次方程根的意义和用法。过程与方法1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示,一方面让学生了解对应用问题的处理方法,另一方面,通过这类方程和前面所学的方程的比较,让学生学会学习新知的方法类比法;2.通过对类比法的说明,培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识;3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程,体会数学建模的应用。情感、态度与价值观1.经历在应用过程中归纳概念的过程,培养学生
2、体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力,逐步感知数学的应用能力和数学美。2.通过对一元二次方程定义的讲解,培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】重点:一元二次方程的概念和一般形式。难点:正确识别一元二次方程和列一元二次方程。【教法与学法导航】教学方法激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法学习方法:动手操作法,自主探究法,互动学习法,发现法,合作探究与讨论归纳法【教学准备】教师准备:PPT 课件(开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容) ,每个学生一份长 10cm,宽 5cm 的矩形纸各一张。学生准备:刻度尺 剪刀【教学过程】一、问题探索导入新
3、知(一)利用多媒体展示问题 1 和问题 2:(师:请同学们思考大屏幕上这两个问题)2问题 1.如图,有一块矩形铁皮,长 100cm,宽 50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题 2.要 组 织 一 次 排 球 邀 请 赛 , 参 赛 的 每 两 个 队 之 间 都 比 赛 一 场 根 据 场 地 和 时间 等 条 件 , 赛 程 计 划 安 排 7 天 , 每 天 安 排 4 场 比 赛 , 比 赛 组 织 者 应 邀 请 多 少 个 队参 赛 ?(生:思考问题同
4、时,师:向每个学生发一张长 10cm,宽 5cm 的矩形纸。 )(二)探究与思考:1.操作一下,怎样折成一个无盖纸盒?(师引导生思考后动手操作一下)2.折成无盖方盒后,如果设铁 皮 的 各 角 应 切 去 边 长 为 xcm 的 正 方 形 怎 样 列 方程 ?提 示 : 易 知 , 底 面 矩 形 的 长 和 宽 分 别 是 ( 100-2x) cm 和 ( 50-2x) cm, 然 后根 据 方 盒 的 底 面 积 是 3600cm2 列 方 程 求 解 即根 据 题 意 得 : ( 100-2x) ( 50-2x) =3600, 化 简 得 x2-75x+350=0。 ( 结 合 生 折
5、 合 的 无 盖 纸 盒 , 师 引 导 其 列 出 方 程 .)3.如果设底面长为 xcm,可怎样列方程?(继续探究,思维拓展)4. 对 于 问 题 2, 若 设 比 赛 组 织 者 应 邀 请 x 队 参 赛 , 则 每 个 队 参 加 多 少 场 比 赛 ,则 共 有 多 少 场 比 赛 , 如 何 列 方 程 求 解 。生 : 通 过 思 考 , 交 流 合 作 列 出 方 程 并 期 待 师 给 出 正 确 评 价 .师 : 请 同 学 们 把 方程左边按未知数的降幂排列,右边为 0.即 .056x,74)1(22x整 理 后 得设计意图:这两个问题都是通过列方程来解的应用题。一是为
6、了化解本章的难点, 让学生先接触一些比较简单的应用题,通 过解题培养自信;另一方面,通过常规的解应用题的步骤,得到一元二次方程。故意 让学生出现卡壳的现象,这为进一步探究新方程服务。二、对比交流探究新知(利用多媒体展示问题 1 和问题 2 所列出的两个方程及三个有关的问题)师:请同学们观察由问题 1 和问题 2 所列出的两个方程:x2-75x+350=0,x2-x-56=0.1.观察这两个方程的结构特点,它们的未知数的个数和最高次数各是多少?它们有什么共同点?2.对比以上三个方程与一元一次方程,它们有什么区别?由此,你能得到关于一元二次方程的特征吗?3.根据这个特征,你能给一元二次方程下个定义
7、吗?(生:思考中. 师:板书课题.)设计意图:让学生自己进行对比研究,比 较现在的方程与以前的有什么异同。通过对照,意在让学生通过讨论、归纳,科学而全面地得到一元二次方程的概念。根据学生讨论、交流,得到一元二次方程及其相关量的概念(师:板书一元二次方程3的定义)(一)定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数, (一元) ,并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。师:根据这个定义,我们能识别一元二次方程吗?(多媒体展示例 1,并引导生完成例 1 的解答.)例1.判断下列方程哪些是一元二次方程:(1)3x2+4x-2=0; (2)x 2-2x+3=6x-1; (3)7-x 3=
8、x+x2; (4)x 2-2xy-4=0; (5)3x 2=5- ;(6)2-x 2+y2=x+m;(7)6x 2+3x=-3x(3-2x);(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)。x引导学生根据一元二次方程的定义判定.解:(3) (7)通过整理后为一元一次方程, (4) (6)是二元二次方程, (5)是分式方程式方程,而(1) (2) (8)整理后复合一元二次方程的定义,(1) (2) (8)是一元二次方程.让学生判定并归纳如下:一 元 二 次 方 程 有 三 个 特 点 : (1)只 含 有 一 个 未 知 数 ; (2)且 未 知 数 次 数最 高 次 数 是 2; (3)是 整 式
9、方 程 要 判 断 一 个 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 , 先看 它 是 否 为 整 式 方 程 , 若 是 , 再 对 它 进 行 整 理 如 果 能 整 理 为 ax2+bx+c=0(a 0)的 形 式 , 则 这 个 方 程 就 为 一 元 二 次 方 程 设 计 意 图 :概 念 教 学 不 能 死 板 硬 套 ,要 让 学 生 在 探 究 中 发 现 ,在 探 究 中 生 成 ,在 探究 中 归 纳 与 总 结 ,最 后 在 处 理 问 题 中 得 到 升 华 。设 计 这 个 判 断 题 就 是 让 学 生 学 会 归 纳规 律 ,运 用 一 元 一 次 方 程 的
10、 实 质 来 进 行 判 断 的 。师 : 我 们 知 道 一 元 一 次 方 程 的 一 般 形 式 是 ax+b=0( a 0) ,那 么 一 元 二 次 方 程 的一 般 形 式 是 什 么 呢 ? ( 师 引 导 生 回 答 出 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 并 板 书 .)(二)一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 是 ax2+bx+c=0(a 0)。其中,a x2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。师:在一元二次方程的一般形式中,为什么要将 a 限定为 a 0?师:假如给你一个一元二次方程,该怎样确定它的系数及常数项呢?
11、(多媒体展示例2.并板书例 2 的解答过程)例 2.将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 (师引导学生完成解答过程)解 : 去 括 号 , 得3x2-3x=5x+10.移 项 ,合 并 同 类 项 , 得 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式3x2-8x-10=0.其 中 二 次 项 系 数 为 3, 一 次 项 系 数 为 -8, 常 数 项 为 -10设计意图:教师安排这个例题,并且 规范其解题步骤,目的就是为后面的学习运用公式法解方程服务。师:我们知道方程的解是使方程两边相等的未知数的值,那么一元二次方程的解是
12、什么呢?生:生相互交流并思考中,师板 书一元二次方程根的定义.(三) 一 元 二 次 方 程 的 根 : 使 一 元 二 次 方 程 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 是 这 个一 元 二 次 方 程 的 解 , 也 叫 做 一 元 二 次 方 程 的 根 。4( 可 以 类 比 一 元 一 次 方 程 的 解 的 定 义 来 理 解 和 掌 握 .)师 : 我 们 如 何 验 证 一 个 数 是 否 为 一 元 二 次 方 程 的 根 呢 ?(多 媒 体 展 示 例 3, 并 引 导生 完 成 例 3 的 解 答 )例 3下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根?-4,
13、-3,-2 ,-1,0,1,2,3,4【分析】要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可解:将上面的这些数代入后,只有-2 和-3 满足方程的等式,所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x2+10x+12=0 的两根师 : 通 过 上 面 的 学 习 , 你 掌 握 多 少 呢 ? 就 让 我 们 一 试 身 手 吧 !三、课堂检测分层训练(一)巩固练习 (PPT 展示练习题教材 P4 练习 1、2 题)1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)5x 2-1=4x; (2)4x2=81; (3)4x(x+2)=2
14、5; (4)(3x-2)(x+1)=8x-3.2.根据下列问题,列出关于 x 的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25,求正方形的边长 x;(2)一个矩形的长比宽多 2,面积是 100,求矩形的长 x;(3)把长为 1 的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方,求较短一段的长 x。设计意图:经过教材习题训练,一方面 紧扣教材加强了对一些基本概念的理解和巩固,另一方面,也是为了化解本章用方程解 应用题的难点问题 。也 为后面学习解法做一个铺垫。(二)拓展应用 (PPT 展示)1.方程(2a-4 )x2-2bx+a=0,在
15、什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元二次方程?2.已知关于 x 的一元二次方程(m-2)x 2+3x+ m2-4=0,有一个解是 0,求 m 的值.师:亲爱的同学们,通过上面的学习,你能归纳一下本节课所学的知识吗?生:思考中,师:多媒体以填空题的形式展示本节课的重要知识点,并引导生完成填空.四、科学归纳巩固新知1等号两边都是 ,只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的方程,叫做一元二次方程2一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式 ,这种形式叫做一元二次方程的 其中 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数, 是常数项3.能使一元二
16、次方程 的值是一元二次方程的解。又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以一元二次方程的解也称为 。设计意图:由于本节内容是本章的第一节课,所以,引导学生学会抽出知识点是一个学习方法和技能问题,故小结设计为 填空题的形式。另外,它不仅是对本节重点内容的一个回顾,也是提醒学生对本节知识 点掌握程度的一个提示。五、课后作业能力提升教材作业(必做)教材 P4 习题 21.15补充作业(选作)一选择题1.下列方程中,一元二次方程的个数为( )(1)2x23=0 (2)x2y 2=5 (3) (4)542x212xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如果 是关于 x 的一元二次方程,那么
17、 a 的取值范围是( 2()310aa)Aa 0 Ba 1 C D任何实数1a3已知关于 x 的一元二次方程 ,不论 m 取何值,该2(3)60()mxx方程都有一个根,这个根是( ) A1 B-1 C0 D2 二、填空题4把(x 3)(2x5)x (3x1)=15 化成一般形式为_,a=_,b=_,c=_5若 3=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值是_m2)6.已知 a 是方程 x2x-1=0 的根,求 。1_a三、解答题7已知关于 x 的方程 .2()()20kx当 k 取何值时,此方程为一元一次方程?并求出此方程的根;当 k 取数项.何值时,此方程为一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.课外作业补充作业 参考答案1.A; 2.B; 3.B4.x2-12x=0,1,-12,0;5.-2;6.-1.7.(1)要使方程为一元一次方程,则需解得 k=1.012k当k=1时,原方程变为2x-2=0,解得 x=1.(2)要使此方程为一元二次方程,则需 k2-10.即k1.方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为k 2-1、k+1和-2.2()(1)20kx【板书展示】6