1、121.1 一元二次方程 【教学目标】知识与技能1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容；3.了解一元二次方程根的意义和用法。过程与方法1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法类比法；2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识；3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。情感、态度与价值观1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生
2、体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】重点：一元二次方程的概念和一般形式。难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。【教法与学法导航】教学方法激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法学习方法：动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法【教学准备】教师准备：PPT 课件（开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容） ，每个学生一份长 10cm,宽 5cm 的矩形纸各一张。学生准备：刻度尺 剪刀【教学过程】一、问题探索导入新
3、知（一）利用多媒体展示问题 1 和问题 2：（师：请同学们思考大屏幕上这两个问题）2问题 1.如图，有一块矩形铁皮，长 100cm,宽 50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2.要 组 织 一 次 排 球 邀 请 赛 ， 参 赛 的 每 两 个 队 之 间 都 比 赛 一 场 根 据 场 地 和 时间 等 条 件 ， 赛 程 计 划 安 排 7 天 ， 每 天 安 排 4 场 比 赛 ， 比 赛 组 织 者 应 邀 请 多 少 个 队参 赛 ？（生：思考问题同
4、时，师：向每个学生发一张长 10cm,宽 5cm 的矩形纸。 ）（二）探究与思考：1.操作一下，怎样折成一个无盖纸盒？（师引导生思考后动手操作一下）2.折成无盖方盒后，如果设铁 皮 的 各 角 应 切 去 边 长 为 xcm 的 正 方 形 怎 样 列 方程 ？提 示 ： 易 知 ， 底 面 矩 形 的 长 和 宽 分 别 是 （ 100-2x） cm 和 （ 50-2x） cm， 然 后根 据 方 盒 的 底 面 积 是 3600cm2 列 方 程 求 解 即根 据 题 意 得 ： （ 100-2x） （ 50-2x） =3600， 化 简 得 x2-75x+350=0。 （ 结 合 生 折
5、 合 的 无 盖 纸 盒 ， 师 引 导 其 列 出 方 程 .）3.如果设底面长为 xcm，可怎样列方程？(继续探究，思维拓展)4. 对 于 问 题 2， 若 设 比 赛 组 织 者 应 邀 请 x 队 参 赛 ， 则 每 个 队 参 加 多 少 场 比 赛 ，则 共 有 多 少 场 比 赛 ， 如 何 列 方 程 求 解 。生 ： 通 过 思 考 ， 交 流 合 作 列 出 方 程 并 期 待 师 给 出 正 确 评 价 .师 ： 请 同 学 们 把 方程左边按未知数的降幂排列，右边为 0.即 .056x,74)1(22x整 理 后 得设计意图：这两个问题都是通过列方程来解的应用题。一是为
6、了化解本章的难点， 让学生先接触一些比较简单的应用题，通 过解题培养自信；另一方面，通过常规的解应用题的步骤，得到一元二次方程。故意 让学生出现卡壳的现象，这为进一步探究新方程服务。二、对比交流探究新知（利用多媒体展示问题 1 和问题 2 所列出的两个方程及三个有关的问题）师：请同学们观察由问题 1 和问题 2 所列出的两个方程：x2-75x+350=0,x2-x-56=0.1.观察这两个方程的结构特点，它们的未知数的个数和最高次数各是多少？它们有什么共同点？2.对比以上三个方程与一元一次方程，它们有什么区别？由此，你能得到关于一元二次方程的特征吗？3.根据这个特征，你能给一元二次方程下个定义
7、吗？（生：思考中. 师：板书课题.）设计意图：让学生自己进行对比研究，比 较现在的方程与以前的有什么异同。通过对照，意在让学生通过讨论、归纳，科学而全面地得到一元二次方程的概念。根据学生讨论、交流，得到一元二次方程及其相关量的概念（师：板书一元二次方程3的定义）（一）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数， （一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。师：根据这个定义，我们能识别一元二次方程吗？（多媒体展示例 1，并引导生完成例 1 的解答.）例1.判断下列方程哪些是一元二次方程：(1)3x2+4x-2=0； (2)x 2-2x+3=6x-1； (3)7-x 3=
8、x+x2； (4)x 2-2xy-4=0； （5）3x 2=5- ；(6)2-x 2+y2=x+m；(7)6x 2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)。x引导学生根据一元二次方程的定义判定.解：（3） （7）通过整理后为一元一次方程， （4） （6）是二元二次方程， （5）是分式方程式方程，而（1） （2） （8）整理后复合一元二次方程的定义，（1） （2） （8）是一元二次方程.让学生判定并归纳如下：一 元 二 次 方 程 有 三 个 特 点 ： (1)只 含 有 一 个 未 知 数 ； (2)且 未 知 数 次 数最 高 次 数 是 2； (3)是 整 式
9、方 程 要 判 断 一 个 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 ， 先看 它 是 否 为 整 式 方 程 ， 若 是 ， 再 对 它 进 行 整 理 如 果 能 整 理 为 ax2+bx+c=0(a 0)的 形 式 ， 则 这 个 方 程 就 为 一 元 二 次 方 程 设 计 意 图 ：概 念 教 学 不 能 死 板 硬 套 ，要 让 学 生 在 探 究 中 发 现 ，在 探 究 中 生 成 ，在 探究 中 归 纳 与 总 结 ，最 后 在 处 理 问 题 中 得 到 升 华 。设 计 这 个 判 断 题 就 是 让 学 生 学 会 归 纳规 律 ，运 用 一 元 一 次 方 程 的
10、 实 质 来 进 行 判 断 的 。师 ： 我 们 知 道 一 元 一 次 方 程 的 一 般 形 式 是 ax+b=0（ a 0） ,那 么 一 元 二 次 方 程 的一 般 形 式 是 什 么 呢 ？ （ 师 引 导 生 回 答 出 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 并 板 书 .）（二）一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 是 ax2+bx+c=0(a 0)。其中，a x2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。师：在一元二次方程的一般形式中，为什么要将 a 限定为 a 0？师：假如给你一个一元二次方程，该怎样确定它的系数及常数项呢？
11、（多媒体展示例2.并板书例 2 的解答过程）例 2.将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 （师引导学生完成解答过程）解 ： 去 括 号 ， 得3x2-3x=5x+10.移 项 ,合 并 同 类 项 ， 得 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式3x2-8x-10=0.其 中 二 次 项 系 数 为 3， 一 次 项 系 数 为 -8， 常 数 项 为 -10设计意图：教师安排这个例题，并且 规范其解题步骤，目的就是为后面的学习运用公式法解方程服务。师：我们知道方程的解是使方程两边相等的未知数的值，那么一元二次方程的解是
12、什么呢？生：生相互交流并思考中，师板 书一元二次方程根的定义.（三） 一 元 二 次 方 程 的 根 ： 使 一 元 二 次 方 程 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 是 这 个一 元 二 次 方 程 的 解 ， 也 叫 做 一 元 二 次 方 程 的 根 。4（ 可 以 类 比 一 元 一 次 方 程 的 解 的 定 义 来 理 解 和 掌 握 .）师 ： 我 们 如 何 验 证 一 个 数 是 否 为 一 元 二 次 方 程 的 根 呢 ?(多 媒 体 展 示 例 3， 并 引 导生 完 成 例 3 的 解 答 )例 3下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根？-4，
13、-3，-2 ，-1，0，1，2，3，4【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x2+10x+12=0 的两根师 ： 通 过 上 面 的 学 习 ， 你 掌 握 多 少 呢 ？ 就 让 我 们 一 试 身 手 吧 ！三、课堂检测分层训练（一）巩固练习 （PPT 展示练习题教材 P4 练习 1、2 题）1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）5x 2-1=4x; (2)4x2=81; (3)4x(x+2)=2
14、5; (4)(3x-2)(x+1)=8x-3.2.根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x；（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x；（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x。设计意图：经过教材习题训练，一方面 紧扣教材加强了对一些基本概念的理解和巩固，另一方面，也是为了化解本章用方程解 应用题的难点问题 。也 为后面学习解法做一个铺垫。（二）拓展应用 （PPT 展示）1.方程（2a-4 ）x2-2bx+a=0,在
15、什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元二次方程？2.已知关于 x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x+ m2-4=0，有一个解是 0，求 m 的值.师：亲爱的同学们，通过上面的学习，你能归纳一下本节课所学的知识吗？生：思考中，师：多媒体以填空题的形式展示本节课的重要知识点,并引导生完成填空.四、科学归纳巩固新知1等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程2一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ，这种形式叫做一元二次方程的 其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项3.能使一元二
16、次方程 的值是一元二次方程的解。又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为 。设计意图：由于本节内容是本章的第一节课，所以，引导学生学会抽出知识点是一个学习方法和技能问题，故小结设计为 填空题的形式。另外，它不仅是对本节重点内容的一个回顾，也是提醒学生对本节知识 点掌握程度的一个提示。五、课后作业能力提升教材作业（必做）教材 P4 习题 21.15补充作业（选作）一选择题1.下列方程中，一元二次方程的个数为( )(1)2x23=0 (2)x2y 2=5 (3) (4)542x212xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如果 是关于 x 的一元二次方程，那么
17、 a 的取值范围是（ 2()310aa）Aa 0 Ba 1 C D任何实数1a3已知关于 x 的一元二次方程 ，不论 m 取何值，该2(3)60()mxx方程都有一个根，这个根是（ ） A1 B-1 C0 D2 二、填空题4把(x 3)(2x5)x (3x1)=15 化成一般形式为_，a=_，b=_，c=_5若 3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是_m2)6.已知 a 是方程 x2x-1=0 的根，求 。1_a三、解答题7已知关于 x 的方程 .2()()20kx当 k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；当 k 取数项.何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.课外作业补充作业 参考答案1.A; 2.B; 3.B4.x2-12x=0,1,-12,0;5.-2;6.-1.7.(1)要使方程为一元一次方程，则需解得 k=1.012k当k=1时，原方程变为2x-2=0,解得 x=1.(2)要使此方程为一元二次方程，则需 k2-10.即k1.方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为k 2-1、k+1和-2.2()(1)20kx【板书展示】6
