1、,1,西北师范大学物理与电子工程学院,3,第三章傅里叶变换和 系统的频域分析,频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开
2、为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。 傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号等问题的分析就很显不足。 FFT为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,本章主要内容：,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形
3、式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,本章学习目标：,掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换分析法，能对常用信号进行频域分析熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关系理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱掌握系统的频域分析法理解并应用抽样信号和抽样定理,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个
4、主要论点,3.1 正交函数的概念,一、 正交函数集 从高等数学中我们知道，在区间(t1,t2)定义的两个函数f1(t)、f2(t)，若二者的乘积在区间(t1,t2)的积分等于零时， 即当,(1),时，称f1(t)、f2(t)在区间(t1, t2)内正交。,在区间(t1, t2)的两个复变函数f1(t)、f2(t)若满足,(2),则称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。其中，f*(t)是f(t)的共轭函数。 设有n个函数f1(t), f2(t), , fn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下的正交特性,(3),则称此函数集为正交函数集。,如果是复变函数集fn
5、(t)(n=1, 2, )在区间(t1, t2)满足,(4),则称此复变函数集是正交函数集。 如果在正交函数集f1(t),f2(t),fn(t)之外，不存在函数y(t) 满足等式,(i=1, 2, , n),则称此函数集为完备正交函数集。,二、三角函数集考察函数集1,cos0t, cos20t, cosn 0t, sin0t,sin20t,sinn0t,在区间(t0,t0+T) 上的特性，发现它是完备的正交函数集。这是因为,(对于所有的m和n),(5),(6),(7),三、复指数函数集函数集ejn0t(n=0,1,2,)在区间(t0, t0+T) 上也是完备的正交函数集。它在区间(t0, t0
6、+T)满足,(8),3.2 傅 里 叶 级 数,任意一个周期为T的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫利条件： (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； (2) 在一个周期内只有有限个极大值或极小值。则f(t)可以展开为：,一、 三角形式的傅里叶级数,(1),直流系数,余弦分量幅度,正弦分量幅度,将式(1)中同频率正弦项和余弦项合并，有,（2）,（3）,各参数间的关系为：,(1).(2).(3)式表明任何周期信号,只要满足狄里赫利条件,都可分解为直流和各次谐波分量之和。其中：第一项c0是常数项，它是f(t)在一周期内的平均值，表示周期信号所具有的直流分量; 式中第二项c1cos(1t+
7、1)称为基波或一次谐波，它的角频率与周期信号的角频率相同，c1是基波振幅，1是基波初相角; 式中第三项c2cos(21t+2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍， c2是二次谐波振幅，2是二次谐波初相角。依此类推，还有三次、四次、谐波。一般而言，ck cos(k1t+k)称为k次谐波， ck是k次谐波振幅，k是其初相角。,二、 指数形式的傅里叶级数由欧拉公式,可以将三角形式的傅里叶级数表示成在运算上更为方便的指数形式：,指数形式的傅里叶级数的系数,引入了负频率,所以：,两种傅氏级数的系数间的关系,三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,1.偶函数余弦级数若f(t)是时间t 的偶函数: f(
8、t)= f(-t)即偶函数的波形对称于纵坐标轴，如图,展开系数为：,这表明偶函数的傅里叶级数展开式中而只含有直流和余弦分量，不含正弦分量。,2. 奇函数正弦级数若 是时间t 的奇函数，即奇函数的波形对称于坐标原点，如图,展开系数为：,这表明奇函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦分量。,3. 奇谐函数半波像对称函数 若函数波形沿时间轴平移半个周期并上下反转后得出的波形与原波形重合。即： 图36 奇谐函数的例子,其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。,4. 偶谐函数半周期重叠函数 若 波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重合，即满足：,其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐
9、波分量。,关于对称性有关问题的讨论一个函数奇偶对称性不仅与函数的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关,时间坐标原点对函数对称性的影响,如何理解一个信号在不同的观察参考点的情况下傅里叶系数有如此多的变化？,例： 其所包含的频率并没有改变， 信号在时间上位置的移动引起了信号各谐波初始相位的变化。 信号在纵轴的平移，可以理解为是迭加上直流分量的结果。,例子：,将横轴下移,后所得到的结果,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,四、傅里叶谱 表征不
10、同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，此图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。,基于三角型级数所画出信号的振幅谱和相位谱，其特点是单边谱（w均为正数）。,基于指数型的傅里叶谱是一个双边谱。,【例1】试画出如图所示的周期锯齿脉冲信号的频谱图。,图 1 周期锯齿脉冲信号,【解】f(t)是奇函数，所以a0=0, ak=0。,所以， 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数为,可以看出，周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量， 且各次谐波的幅度以速度衰减。若以频率为横坐标，各次谐波的幅度为纵坐标，可画出表示谐波振幅大小的图，称之为振幅频率图，简称幅频图。若纵坐标表示各次谐波的相位， 则
11、称之为相位频率图，简称相频图。周期锯齿脉冲信号的振幅频谱图和相位频谱图分别如图2和图3所示。,图 2 周期锯齿脉冲信号的振幅频谱图,图 3 周期锯齿脉冲信号的相位频谱图,【例2】设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，周期为T，如图4所示。求该信号傅里叶级数的三角形式和指数形式。,图 4 周期矩形脉冲信号,【解】求出复傅里叶系数,所以，周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数的指数形式是,若把f(t)写成三角函数形式的傅里叶级数，则根据函数奇偶性有,所以,从上式可知，直流分量为，k次谐波的幅度为。 若上述周期矩形脉冲信号的周期T=4，其频谱图、幅频图和相频图分别如图5(a)、 (b)
12、和(c)所示。,图 5 周期矩形脉冲信号的振幅频谱和相位频谱,图 5 周期矩形脉冲信号的振幅频谱和相位频谱,由图5可以看出周期矩形脉冲信号每一个分量的幅度和相位的相对关系，还可以看出以下特点： (1) 周期性矩形脉冲信号的频谱和周期信号一样，都是离散谱。谱线只会出现在0、0、20等离散频率上，两谱线的间隔是，所以脉冲周期愈大，相邻谱线的间隔愈小。 (2) 各谱线的幅度按包络线的规律变化。例如，当k=1时，基波幅度为；当k=2时，二次谐波幅度为；而当k=4m(m=1, 2, 3, :)(T=4)时，相应谱线幅度为零。,(3) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，即可分解为无限多个频率分量。各分量的
13、幅度随频率的增加而减小，信号能量主要集中在第一个零点以内。实际上，通信领域中在允许一定失真的条件下，往往只传送频率范围内的低频信号。常把这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。,通过以上对不同波形周期信号例题的频域分析可以看出， 周期信号的频谱具有以下特点： (1) 谱线只在基波频率的整数倍处出现， 具有非周期性的离散频谱，即线谱。 (2) 各次谐波的振幅总的变化趋势是随着谐波次数的增加而逐渐衰减。 (3) 各谐波振幅的衰减速度与波形有关，其规律可以通过对信号函数进行求导，直至出现冲激函数时，所需微分的次数来表示。例如矩形周期信号微分一次出现冲激，而三角形周期信号微分二次出现冲激，则前者振幅与
14、k成反比，后者与k2成反比，依此类推。综上所述， 周期信号的频谱具有离散性、 谐波性和收敛性三大特点。,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号,一、周期矩形脉冲信号,f(t),t,0,E,-T,T,f(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,周期矩形的频谱变化规律：,若不变，在改变T时的情况,若增大周期T,则(1)离散谱线间隔 将变小,即谱线变密;(2)各谱线的幅度将变小,包络线变化缓慢,即振幅收敛速度变慢;(3)由于 不变,故零分量频率位置不变,信号有效频谱宽度亦不变.,若T不变，在改变的情况,若T不变, 减小,则:(
15、1)谱线间隔不变 ;(2)第一零分量频率 增大,即频宽增大,同时出现零分量频率的次数减小;(3)各次谐波的振幅减小. 若 增大,则反之.,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,二、周期锯齿脉冲信号,三、周期三角脉冲信号,四、周期半波余弦信号,五、周期全波余弦信号,傅立叶级数,傅立叶级数的系数,T1 信号的周期,基波频率1,傅立叶级数小结,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,3.4 非周期信
16、号的频谱,一、傅里叶变换,频谱演变的定性观察,-T,T,T,-T,1.从周期信号FS推导非周期的FT,傅立叶正变换,2.傅立叶的逆变换,傅立叶逆变换,用符号 表示 的傅里叶变换，而 的傅里叶逆变换用符号 表示，即,3.从物理意义来讨论FT,(a) F()是一个密度函数的概念 (b) F()是一个连续谱 (c) F()包含了从零到无限高频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波关系,傅立叶一般为复数变换,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,4.傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,
17、幅频相频,二、典型信号的频谱函数,1.单边指数信号,0,0,2.偶双边指数信号,3.奇双边指数信号,f(t),1,0,t,0,t,-1,4.符号函数,Sgn(t),+1,-1,5.单位直流信号,6. 单位冲激信号,同理可得,7.冲激偶信号,0,8. 单位阶跃信号,9.矩形脉冲信号,t,0,3.5 傅里叶变换的性质,1. 线性性质,若,则,2.对称性,则,若,证明: 因为,将变量和t互换，得,所以,特别地当f(t)为偶函数时，有FTF(t)=2f(), 即若f(t)的频谱为F()， 那么， 信号F(t)的频谱即为2f()。,1,0,0,0,0,3.折叠性,4.尺度变换特性,若则,时域中的压缩（扩
18、展）等于频域中的扩展（压缩）,f(t/2),压缩,扩展,5. 时移性质,若,则,时移性质说明，如果信号在时间域中延迟了时间t1，其振幅频谱保持不变，相位频谱移动-t1。具体说明如下： 若,则,而,比较上两式 ， 可得,带有尺度变换的时移特性,若a 0,则有绝对值,6. 频移性质,若,则,证明:,同理， 可证,频谱搬移技术,载波频率,卷积,另一种方法,调幅信号都可看成乘积信号,矩形调幅指数衰减振荡三角调幅,求它们的频谱= ？（略）,7.时域微分性 注意:时域微分性质要求信号 满足, 否则不能用.,若则,证明:,则,所以,8.频域微分性,9.时域积分性,若如果则,证明:,能否用时域微分性?,10.
19、频域积分性,11. 时域卷积定理,若则,证明:,例:求函数 的傅里叶变换。解: 因为,而,根据时域卷积定理可得所求函数的频谱为,12. 频域卷积定理,若,则,13. 帕塞瓦尔定理,14.奇偶性,15.相关定理,同理可得另一式.,自相关函数与幅度谱的平方是一对FT,若有y(t)是实偶函数， 也是实偶函数则次时相关定理等与卷积定理,去共轭,变量互换,3.6 能量谱和功率谱,帕斯瓦尔定理,能量谱帕斯瓦尔定理,两块阴影的面积 相等,能量密度谱,能量有限信号,平均功率,功率有限信号f(t),平均功率,功率谱,功率密度函数,平均总功 率,例：周期信号 的功率谱，周期为,维纳欣钦定理,一对傅立叶变换,例：求
20、周期余弦的功率谱 和自相关,3.7 周期信号的傅里叶变换,一、 正、余弦信号的傅里叶变换,二.一般周期信号的傅里叶变换,FS,FT,例:求周期矩形脉冲的FS和FT.,周期重复,由单脉冲联想FS的Fn,FS,FT,小结单脉冲和周期信号的傅 立叶变换的比较,单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示； 是 的包络的 。,对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经抽(采)样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件,3.8抽样信
21、号的傅里叶变换及抽样定理,一、信号的抽（取、采）样 采样（取样，抽样）：就是利用抽样脉冲序列 从连续信号 中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“抽样信号”，以 表示。,（一）时域抽样,（1）矩形脉冲抽样,乘,卷,非理想抽样,（2）冲激抽样（理想抽样）,相乘,相卷,时域抽样,频域周期重复,FT,FT,相乘,相卷积,（二）频域抽样,相乘,卷积,例：周期矩形信号被冲激抽样后信号的频谱,二、抽样定理,（一）时域抽样定理 一个频带受限信号 ，如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔必须不大于 （其中 ），或者说最低抽样频率为 。奈奎斯特频率（最低允许的抽样率
22、）：,奈奎斯特间隔（最大允许的抽样间隔）：,不满足抽样定理时产生频率混叠现象,（二）由抽样信号恢复原连续信号 如果抽样信号通过一理想低通滤波器就可恢复原信号。,取主频带 ：时域卷积定理：,卷积,包络,相乘,（三）频域抽样定理,若信号 为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。,抽样定理小结,时域对 抽样等效于频域对 重复时域抽样间隔不大于 。频域对 抽样等效于时域对 重复频域抽样间隔不大于 。满足抽样定理，则不会产生混叠。,3.9 傅里叶方法在系统分析中的应用一.LTI系统的频域分析（一）系统的频响函数 定义零
23、状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比为LTI系统的频响函数，并按习惯用 表示，即： 由系统不同的表示形式,可以用不同的方法得到系统的频响函数.,(二)系统的频域分析,1.周期正弦信号的响应,可见,正弦周期信号的响应仍为同频率的周期正弦信号,仅幅度、相位有所改变。这种响应是稳态响应，可以利用正弦稳态分析法计算。,2.非正弦周期信号的响应,（1）将激励分解为无穷多个正弦分量之和展开为傅氏级数；（2）求出系统函数；（3）利用正弦稳态分析法计算第n次谐波的响应；（4）各谐波分量的瞬时值相加。,3.非周期信号的响应,非周期信号通过线性系统的响应可以利用卷积定理,先求输入信号的傅氏变换及系统的频响,
24、再将两者相乘得到输出的傅氏变换,最后经反变换得到时域响应.,例:,【例】如图所示的系统中，f(t)为已知的激励信号，系统冲激响应 , 求零状态响应yf(t)。,【解】设f(t)的频谱函数为F(j)，系统函数为,所以,所以，零状态响应为,yf(t)=-f(t),可见，该系统为一反相器。,二.无失真传输系统1. 失真的概念 一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，即说明信号在传输过程中产生了失真。,线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频率成分； 非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减； 相位失真：各频率
25、分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。,2 .无失真传输系统 所谓无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。这个概念可用公式表述如下：,对无失真传输系统的转移函数要求（即频域要求） 即无失真传输应具备两个条件:,即:,（1）幅频特性为一常数，即： （2）相频特性是一条过原点的负斜率的直线，即,思考：相位特性为什么与频率成正比关系？,只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。,延迟时间t0 是相位特性的斜率：,群时延或称群延时,在满足信号传输不产生相位失真
26、的情况下，系统的群时延特性应为常数。,小结,系统的无失真传输条件,三.理想低通滤波器与物理可实现系统,低通,高通,带通,带阻,1理想低通的频率特性,的低频段内，传输信号无失真 (只有时移 ) 。,为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。,即,2理想低通的冲激响应,波形,1比较输入输出，可见严重失真；,2.理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统,讨论,当 经过理想低通时， 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。,信号频带无限宽，,而理想低通的通频带(系统频带)有限的,系统为全通网络，可以 无失真传输。,原因：从h(t)看，t0时已有值。,3理想低通的阶跃响应,激励,系统,响应,1.
27、 下限为0；,2. 奇偶性：奇函数。,正弦积分,3 . 最大值出现在 最小值出现在,阶跃响应波形,4理想低通对矩形脉冲的响应,5.物理可实现系统,物理可实现的系统,佩利维纳(频域准则)准则系统可实现的必要条件。,幅度函数不满足这个准则的,其系统必为非因果的.这个准则既限制因果系统的幅度函数不能在某一频带内为零,也限制幅度特性衰减不能太快.由佩利维纳准则可以推知，所有的理想滤波器都是物理不可实现的，研究它们的意义在于：所有可实现系统，总是按照一定的规律去逼近理想滤波器所以只要实际滤波器以某种方式逼近理想滤波器的方法存在，就不失讨论理想滤波器的意义当然，并非满足该准则的幅度特性，加上任意的相位特性就可以构成物理可实现系统幅度准则只是一个物理可实现系统的必要条件，还必须有合适的相位特性与之匹配合适的幅频与相频特性可由希尔伯特变换解决,说明,对于物理可实现系统,可以允许H(j) 特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。按此原理， 理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的；佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。,
