1、 二次函数单元知识梳理与总结一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2、注意点：（1）二次函数是关于自变量 x 的二次式，二次项系数 a 必须为非零实数，即 a0，而 b、c 为任意实数。（2）当 b=c=0 时，二次函数 是最简单的二次函数。2ay（3）二次函数 是常数， 自变量的取值为全体实数 （ 为整cbxay,(2)0a cbxa2式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a0） ，对称轴：直线 x= 顶点坐标：( ) babc422，（2）顶点式： （a0） ， khxy2对称轴：直线 x= 顶点坐标
2、为（ , ）（3）交点式：y=a（x-x 1） （x-x 2） （a 0）, 对称轴:直线 x=(其中 x1、x 2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标).二、二次函数的图象1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbay y2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；2axykx22hxay； .khxy2 cxy2注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数 的图像的画法 cbxa2因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点
3、 (如与坐标轴的交点等 )； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k当 时0a开口向上（ 轴） (0, )k2hxay hx( ,0)hk( , )kcbxay2当 时0a开口向下 abx2( )abc422，注：常用性质：1、增减性：当 a0 时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当 a0 时，函数有最小值，并且当 x= ， y 最小 ab2abc42当 a0 时，函数开口方向向上；当 a0）向下（k0）向下（k0 时，抛物线有最低点，函
4、数有最小值，当 x= ， y 最小 ab2abc422、 当 a0 时，方程 有两个不相等的实数根，即抛物线 与 x 轴有两个不2x cbaxy2同的交点。 当0 时，方程 有两个相等的实数根， 即抛物线 与 x 轴有一个交02cba 2点。当 0 时，方程 没有实数根， 即抛物线 与 x 轴没有交点。2x cbaxy2十、抛物线与 轴两交点之间的距离：x若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两cbay2x021， xBA1x202cbxa个根，故 x2121,十一、直线与抛物线的交点问题（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程2 1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：02cbxax有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0
