1、1整式的乘法同底数幂的乘积为 正 整 数 ）nmanm,(注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）前提必须是同底数，指数才可以相加（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，（4）指数都是正整数（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即 为 正 整 数 ）pnmaapnm,(（6）不要与整式加法相混淆。（7）这个公式是可逆的 为 正 整 数 ）annm,(类型一：x 3x4 = xnx4 = _3a； 3x 2xnx4= _2a；5 1y类型二：(1) 已知 xm-nx2n+1=x11,且 ym-1y4-n=y5,求 mn2 的值。(2)若 22m8=2
2、n ,则 n= 类型三：(1)、 (- )(- )2(- )3 (2)、 -a 4(-a)4(-a)5 (3)、 (x-y) 3(y-x)(y-x)6 （4） 、 201201-)-(）（类型四：已知 2a=3, 2b=6, 2c=12，试探究 a、b、c 之间的关系；21. 幂的乘方为 正 整 数 ）nman,()(注意点：（1）幂的底数 a 可以是具体的数也可以是多项式。（2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆（3）公式的可逆性：；为 正 整 数 ）nn,() 为 正 整 数 ）nmaanm,()(（4）公式的扩展:为 正 整 数 ）pamp(为 正 整 数 ）,()()nbn类型一：(a 3
3、)5 = ; ; ; 3mxna32)(a+b)23= ; (a2)53= ;类型二：【例 1】若 y2x,5求yx【例 2】若 求 的值；,510,4mn ,1032mn【例 3】已知 ，试比较 a,b,c 的大小;3455,b,3ac2. 积的乘方为 正 整 数 ）nba(n注意点：（1）注意与前二个法则的区别：（2）积的乘方推广到 3 个以上因式的积的乘方 为 正 整 数 ）naamnm(a321n321 （3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式（4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘（5）公式的可逆性： 为 正 整 数 ）nban(6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： amn
4、=(am)n=(an)m 类型一： ； ；_)(3ab_)2(3_5(23b类型二：【例 1】当 ab= ，m=5, n=3, 求(a mbm)n 的值。 3【例 2】若 a3b2=15，求-5a 6b4 的值。【例 3】如果 3m+2n=6，求 8m4n 的值。 【例 4】 （1）解方程 （2）解方程3-2x1x63 167431-x【例 5】已知 ax=5，a x+y=25，求 ax+ay 的值【例 6】已知：2 x=4y+1，27 y=3x-1，求 xy 的值 类型三：【例】计算：201201)9(） 315)2(0.4.单项式乘法法则：【例】yx32 )5(22xy)2()3xy 23
5、2)(ba5.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【例】)(cbam)532(yx )25(ba46.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【例 1】)6(2x )12)(3(yx )(22ba【例 2】：解方程与不等式（4+3y)(4-3y)9(y-2)(y+3)18)(9)2(3aa【例 3】确定参数 a 的值.36)18(22xx 36)(2axqxp题型一：确定参数的值【例】若 展开式中不含 项和 项，求 m,n 的值，并写出展开式中的最后结果nxmx3822
6、3x2练习： 后 的 结 果的 值 ， 并 写 出 展 开 式 最项 ， 求的 乘 积 中 不 含和 kxkxx22233题型二：整式乘法的实际应用【例 1】：小明将现金 x 元存入银行，年利率为 a，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是 1 年期，蛋年利率调整为 b，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除 5%的利息税）练习：一种商品进价是 p 元，他的价格提高 10k%，再打 k 折，则售价是 元5【例 2】：观察下列各式：23123233612331041观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .题型三：整式的乘法能力提升训
7、练；例 1. 已知 ，求 的值.1582x2)1()(4)2(xx变式： 已知 ，求 的值012x )5()3()2(2xx变式： 已知 的值.)1()3(1,09322 xxx求求例 2. 已知 ，求代数式 的值。012x323x变式： 已知 ，求代数式 的值。032x103523x变式： 已知 ，求代数式 的值。0132x2097322x平方差和完全平方6一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
8、 位置变化， xyyxx2y2 符号变化， xyxyx2y2 x2y2 指数变化， x2y2x2y2x4y4 系数变化，2 ab2ab4a2b2 换式变化， xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 增项变化， xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 连用公式变化， xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4 逆用公式变化， xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例题解析：7例 1已知 ， ，求 的值。2ba12ba解： =)(2 ab2)( ， = 1例 2已知 ， ，求 的值。8ba
9、2)(ba解： 2)(22ba =)(424)( ， )(568例 3：计算 19992-20001998解析此题中 2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：1999 2-20001998 =19992-（1999+1）（1999-1）=19992-（1999 2-12）=1999 2-19992+1 =1例 4：已知 x-y=2，y-z=2，x+z=14。求 x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出 x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到 x2-z2是由 x+z 和 x-z 的积得来的，所以只要求出 x-z 的值即可。解：因为 x-y=2，y-z=2，将两式相
10、加得 x-z=4，所以 x2-z2=（x+z）(x-z)=144=56。例 5运用公式简便计算（1）103 2 （2）198 2解：（1）103 210032 10022100332 100006009 10609（2）198 220022 20022200222 400008004 39204例 6计算（1） a4b3ca4b3c （2）3 xy23xy2解：（1）原式 a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2（2）原式3 xy23xy29x2 y24y49x2y24y4例 7解下列各式（1）已知 a2b213， ab6，求 ab2， ab2的值。（2）已知 ab27， a
11、b24，求 a2b2， ab 的值。（3）已知 aa1a2b2，求 的值。（4）已知 ，求 的值。3x41x分析：在公式 ab2a2b22ab 中，如果把 ab， a2b2和 ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1） a2b213， ab6ab2a2b22ab132625 ab2a2b22ab13261（2） ab27， ab24 a22abb27 a22abb24 得 2 a2b211，即 18得 4 ab3，即 4ab（3）由 aa1a2b2 得 ab22b21（4）由 ，得 即 3x9x29x21x即 21x41x4x例 8 （1）(-1+3
12、x)(-1-3x)； （2）(-2m-1) 2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1 2-(3x)2=1-9x2.（2） (-2m-1) 2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.例 9四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于 1234125522345112111234561361192 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上 1，都是平方数。解：设 n， n1， n2， n3 是四个连续自然数则 nn1n2n31 nn3n1n21 n23n22n23n1n23nn23n21 n23n12 n
13、是整数， n2，3 n 都是整数 n23n1 一定是整数n23n1是一个平方数 四个连续整数的积与 1 的和必是一个完全平方数。例 10计算 （1） x2x12 （2）3 mnp2解：（1） x2x12x22x2122 x2x2x212x1x4x212x32x22xx42x33x22x1（2）3 mnp23m2n2p223mn23mp2np9m2n2p26mn6mp2np分析：两数和的平方的推广abc2 abc2 ab22abcc2 a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac 即 abc2a2b2c22ab2bc2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的 2
14、倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例 1. 计算： 解：原式5322xy5325924xyxy9(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2. 计算： 1124aa解：原式 2148a例 3. 计算： 32513251xyzxyz解：原式 49250612yzxyzx三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4. 计算： 57857822abcabc解：原式 578cabc
15、1046abc四、变用: 题目变形后运用公式解题。例 5. 计算： xyzz26解：原式 xy424xyzyz1222五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 12344222.abababab六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设 a、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认
16、识乘法公式。10如图 1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2；图 2 中的两个图阴影部分面积分别为(a+b) 2与(a-b) 2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2与(a-b) 2=a2-2ab+b2。.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一. 先分组
17、，再用公式例 1. 计算： ()()abcdabcd简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式运用加法交换律和结合律变形为 ；将另一个整式 变形()abcd()()ac()abcd为 ，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。(解：原式 )()bacbdacd222二. 先提公因式，再用公式例 2. 计算： 824xy简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的 x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数 2 出来，变为 ，则可利用乘法24xy公式。解：原式 244xy32822xy三. 先分项，再用公式
