1、1,第五章 线性空间 ( linear space )第26次课,线性空间的定义与基本性质,在讲线性方程组时，我们用了n-向量(n个数的有序组合，n维几何向量，n-vector)，n-向量有 向量加法(加法，addition)与数量乘法(数乘，scalar production) 运算；其他的一些数学对象也在“加法”与“数乘”运算，例如：多项式（函数）也有加法与数乘运算；矩阵也有加法与数乘运算；数学分析中的连续函数也可以进行加法与数乘 运算；复数等等,线性空间的定义：,加法 与 数乘 运算可能是一类更广泛数学对象的运算法则,集合：具有同样特性的一些（数学）对象的整体。,记号：,集合的给定：,集
2、合的简单运算：并，交，差,并(和)：,交(积)：,差：,集合之间的关系： 相等 =， 不相等 ，包含 ，被包含 集合的分类：空集，有限集合，可数集合，不可数集合集合之间的对应： 映射，单位映射（恒等映射），映上(映满，满射)， 1-1 对应（双射），逆映射，单射,映射：设M与M是两个集合，所谓集合M到M的映射是指一个法则，它使M中的每一个元素a，都有M中的一个确定的元素a与之对应，如果映射使aM与aM对应，那么就记为： (a)=a。a称为a在映射下的像，而a称为a在映射下的一个原像。（为什么提一个原像？）,定义：（线性空间）设V是一个非空集合，又设P为数域，且V上有一个加法运算,”,“ ”,，
3、V 中的元素与P中的元素有数量乘法运算,“ ”,。,且“ ”与“ ”,满足如下性质：,1.加法交换律,2.加法结合律,3. 在V中有一个加法单位元素 0，使得,4. 存在负元，即,，存在,，使得,数量乘法满足：,5.,6.,数量乘法与加法满足：,7.,8.,则称V为P上的一个线性空间，线性空间中的元素称为向量。在不致于引起混淆的情况下，也用“+”和“”替代 “ ”和“ ”。,注意：线性空间(向量空间)依赖于“+”和“”的定义，不只与集合V有关。同样的集合可以定义不同的“+”和“”。,线性空间的定义： 如果“数域、集合、加法运算、数乘运算” 满足8条性质（或公理），则称它是一个线性空间。定义中的
4、4件事情缺一不可。改变其中之一，我们就有可能得到不同的类型的数学对象。,线性空间的例子：,3. Px，加法与数乘按多项式定义,1. R+=(0, +)， “+” = ，k“” = k,2. 同级矩阵的全体,4. Pnx，次数小于等于n的全体多项式以及零多项式， 加法与数乘按多项式定义,5. (数域R, 集合C, 普通 +, 普通 ),6. (数域C, 集合C, 普通 +, 普通 ),7. 数学分析中的实函数的全体在实数域上也构成线性空间 不是线性空间的例子 例5.2 另外，数域C, 集合R, 普通 +, 普通 ，也不能构成线性空间,线性空间的定义与基本性质,命题：零元素是惟一的 证明：设01与
5、02均是零元素，则由零元素的性质，有 01 = 02 + 01 = 01 + 02 = 02,命题：负元素是惟一的,证明：,1 = 0 + 1 = (+2) + 1 = (+1) +2 = 2，,，设1, 2是的负向量，则,由于负向量唯一，我们用 代表的负向量。,线性空间的定义与基本性质,定义: 减法“”：,命题：线性空间中的加法和数乘满足如下性质：,1.,2.,且,3.,(注意两个不同的零)，,4.,如果,或,5.,k = 0,子空间的定义,定义：设W是数域P上的线性空间V是一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也能在P上构成一个线性空间，称W是V的线性子空间。定理： W是数域P上的线性空间V是一个非空子集合，如果W对于V的两种运算封闭，则W是一个子空间。,例5.7： Pnx是 Px的子空间 。例5.8：Ax=0的解集构成子空间,注意：两个子空间的并集合不再是子空间，但交集合仍是子空间。定义5.3：生成子空间，生成元,例5.9： 零子空间 。例5.10：线性空间V是自己的子空间平凡子空间，非平凡子空间注意：不同数域上的空间不能互相 谈子空间问题！,15,第26次课作业P196：1(1)(3)(5),
