1、凸函数在初等代数中的应用摘 要 本文通过对凸函数定义及性质定理的介绍,归纳了判定凸函数的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题,进一步提高了运用这些方法解决相关数学问题的能力.关键词 凸函数;判别;不等式;应用中图分类号 O174.131 引言函数的凹凸性主要用于高等数学中,例如凸函数在泛函分析、最优化理论以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用,而在初等代数中并没有相关的概念以及系统的定义、性质,但它在初等代数解题中频频出现.例如有些对数函数,指数函数以及一些不等式的计算或证明,往往看起来很复杂,甚至无从下手,若用常规方法去解决会相当困难,再加上计算量大且繁锁,使许多人产生厌学数学
2、的情绪,但如果利用凸函数的相关性质给予计算或证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.为了培养与提高学生学习数学的兴趣,让学生初步掌握凸函数相关性质是很必要的.因此本文通过凸函数的基本知识及相关性质的介绍,归纳了判定其凸性的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题.2 预备知识定义 设 为定义在区间 上的函数,若对 上的任意两点 ,1f（ x） ab,ab1x和任意实数 ,总有2x(0), 1212()()()fxfxfx()则称 为区间 上的凸函数.反之,如果总有f（ ） ab. 1212()()()fxfxfx()则称 为区间 上的凹函数.f（ x） ,定义 若 在区间 上有定义,当
3、且仅当曲线 的切线恒保2()fxaby()fx持在曲线以下,则称 为 上的凸函数.性质 若 在区间 上为凸函数,则当 时, 在 上也1()fx1Iabf（ ） 1I为凸函数.性质 若 , 在区间 都为凸函数,则 在区间2()fgab()fxg,ab上也为凸函数.性质 若 在区间 上为凸函数,则当 时, 在区间 上3()fx0a()f,1也为凸函数.性质 (Jensen 不等式)若 为区间 上的凸函数,则对任意的 ,14()fxabix, ,且 ,有ixab0(,2i n1ii.11()()niiifxfx推论 若 是凸函数,则其对应定义域中的任意 个点 ,恒)(xf nnx,21有,1212(
4、)()()n nxf ffxf 当且仅当 时等号成立.nx21定理 为 上的凸函数的充要条件是:对于 上的任意三点)(f,ab,ab,总有123x.313221()()()fxffxffxf推论 若 在 上满足()f,ab( ,且 ),123()0xff123,xab123x则称 为 上的凸函数.()fx,ab定理 设 为区间 上的二阶可导函数,则 为 上的凸函12()fxab()fx,ab数的充要条件是, .()0fx,ab由于凹函数与凸函数是对偶的概念,后一个有什么结论,前一个亦有相应的结论,所以本文只需讨论函数的凸性.3 判别函数凸性的方法在解题中常会遇到一些与凸函数相关的问题.要想运用
5、凸函数的有关性质去解决,首先就要判断该函数的凸性.因此掌握判别凸函数的一些基本方法 ,有利于提高解题速度.下面将探讨判别凸函数的几种基本方法.23.1 定义法一些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性.例如 .由2()0)fx定义 1,对 ,有12(0,),0x212 ()()()ffxfx21x,2()0即 ,1212()()()fxfxfx所以 为 上的凸函数.2()fx0,)3.2 定理法例 1 判别函数 的凸性.()xfe解 令 且 ,则23,x123x,2121()xffe3223()xffe由定理 1 有,3221()()0fxffxf所以 为 上的凸函数.()xfe(,)例
6、2 判别 的凸性.2ln1fx解 由于, ,2()fx2()1)xf则由定理 2 知,当,20即 时,有 .故 在 上为凸函数,在1x()0fx()ln1)fx(,1)上为凹函数.(,)3.3 几何意义法3在定义 中,令 , 分别表示 轴上点112()xx12()()yfxfxx到点 的线段,点 到点 ,的线段(如图 1）.则定义 1 表1x2,Af2B示凸函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦下面.这样利用函数的几何意义,做出该函数某定义区间 内的图象,根据图像ab特点就可判断函数的凸性.这样对一些基本的初等函数的凸性便可快速判别.如,在 上为凸函数.(1)siny(,0),在 上为
7、凸函数.2co3,2( 且 ),在 上为凸函数.(3)xya01(,),当 或 时,在 上为凸函数.4a,当 时,在 上为凹函数;当 ,在 上为凸(5)logayx(0)01a(0)函数.在以上判别函数凸性的方法中,用定义法判定函数的凸性过程中计算量大不易于快速解决问题,而定理 2 形式简单,应用方便,成为判别函数凸性的首选方法.但在解题过程中应灵活选用适当的方法,以便高效解题.4 函数的凸性在初等代数中的应用函数凹凸性虽然是高等数学的一个内容,但在初等代数中却有着广泛应用.4.1 在证明不等式中的应用证明不等式是初等代数的一个重点内容,也是难点内容,有时若用凸函数的性质去证明不等式,往往会有
8、奇妙的效果.例 若 ,求证631,nbaR图 1(,()1Axf (,()2BxfOx2yx4.12)(nnba证明 作 上的凸函数R,)()xfn而 ,所以有ab.12)()(2nnbaba注 若用数学归纳法证明很难而且不易找到其解题思路,但巧妙运用函数的凸性,可以快速解决问题,并且使证明过程变得简单易懂.例 已知函数 ,若 且 ,证明84)20(,tan)(xf )2,0(1x21x.21fff证明 因为 ,xxf2sec)(tan),2tsec(且 ,故(0)2x,()0fx则 在区间 是下凸函数.又 ,所以有()fx(,)12.12()()fxff注 若该题采用常规方法,对三角函数式变
9、形要求较高,而利用函数凸性则可避免复杂的变形和计算.例 若 , , ,则( ).51ablgPab )lg(2baQ)2lbaRA. B.QRPC. D. 解 由 ,得 均为正数,由均值不等式得 ,又由对数1bacbalg,l QP函数 ,则有 ,所以函数 在其定义域内是xflg)(0)(2exf xflg)(上凸函数,故有 ,选 B. RQ54.2 在有关函数图像问题中的应用利用函数的凸性,不仅可以用来证明不等式,求取值范围,而且还可以深刻地研究函数的有关性质和绘制函数图像,并结合图像来解决问题.例 已知 为正整数,且 ,证明56nm、 nm1.)()(分析 如图 2,作出函数 的简图,图象
10、过点 .xyn)1(log)1,(nA设直线 交曲线于点 B,交线段 AC 于点 F,则nx, ,nyB)1(log 1(1)tanFyACE由函数的凹凸性可知函数 为凸函数,则有 时,有()xFBy,nnl)1(即,lg()可化为. 1ll(1)n(3)证明 设数列 的通项为 ,则 式可化为为 ,所以naag（ 3） 1na数列 为递减数列.由于 ,则有 ,即nam11nma,)l()l(变形得,)1lg()1lg(nn所以 成立.mn)1()(图 26例 如图所示,单位圆中弧 的长为 , 表示弧 与弦 所围成87ABx()fAB的弓形面积的2倍,则函数 的图象是( ).)yfx解法 1 设
11、 ,则 ,又AOBx=AOBS弓 形 扇 形12sinco1sixx当 时, ,则 ,其图像位于 下方;当(0)xsin0xsiy时, , ,其图像位于 上方.故选 D.2i x解法 2 易知弓形 的面积为AB,()sinfx而,()1co,()iff故 的函数图像,在 上为凹的,在 上为凸的,故选 D.()fx02注 从简单的对图形认识上升到对理论的掌握,进而应用函数凸性并结合图像得到解决问题的有效途径,使得结论形象直观.4.3 在求最值问题的中应用例 8 若 ,求 的最小值.,1abcRabcc7解 令 由于 ,故sabc3sabcabcabcs,令 ,易知 为凸函数,则上式可化为 cs(
12、)xf()fx,1332sabscabc所以原式最大值为 .12注 分式不等式的证明一直是不等式证明的疑难问题,本例从凸函数的视角解答,化繁为简,让人耳目一新.例 9 在 中,求: 的最大值.ABC(1)CBAsinsin(2)2tantAB的最小值.2tan解 构造凸函数 (1),()sinfx则有 ,23sin3siisni CBABA所以 的最大值是 .siniC2令 在 上是凸函数,则 是(2)2,tan(0,)xfuu()2()fu上的凸函数,取 ,由 Jensen 不等式得013,12()()()()232ABCABCffff即 .22222tanttant()3tan16注 运用
13、三角函数的和差化积、积化和差公式,对此类问题的解决极其繁琐,而函数凸性恰给类似问题的解决提供了新的思路.5 结束语在阅读文献的基础上对凸函数的定义及其相关性质定理进行了探究,总结出8了判定凸函数的三种方法以及在几类初等代数问题中的应用,发现利用凸函数解决一些较复杂的初等代数问题时,可以使其变得简单,收到事半功倍的效果.若能掌握初等代数中与凸函数相关问题的解题规律和解题策略,对解决类似的问题能有所启发和帮助.其 实 ,初等数学和高等数学的知识及一些常用方法是相互联系,相辅相成的.高等 数 学 在 初 等 代 数 中 的 应 用 也 是 相 当 广 泛 的 ,例如极限思想、线性方程组理论、概率论以
14、及微积分知识等等在初等代数中也有广泛的应用.用高等数学的方法可以使我们居高临下地去观察初等数学问题,帮助我们确定解题思路,寻求便捷的解法,所以作为将要从事数学教学工作的我们只有学好高等数学知识,才能在今后的工作中得心应手,游刃有余,并且也有必要教学生应用一些简单的高等数学知识去处理一些初等代数问题,这样不仅简单明了还可以得出多种解法,进而激发学生学习的积极性,增强学生分析问题和解决问题的能力,也有利于学生形成良好的数学素养和数学品质,为以后的学习打下良好的基础.参 考 文 献1华东师范大学数学系.数学分析(上册)第三版M.北京:高等教育出版社,2001.2刘玉莲.数学分析M.北京:高等教育出版社,1991.3易红然.凸函数在一些证明题中的应用J.教育教学论坛,2014(4):117-118.4徐娜.凸函数的性质与应用J.专题研究,2013(13):117.5彭耿峰.高考凸函数问题研究J.中学数学研究,2013(9):41-44.6杜广环,周永芳,刘莹.凸函数在不等式证明中的应用J.高师理科学刊,2013,33(5):11-13.7陈亚丽.有关凸函数的定义和性质J.无锡商业职业技术学院学报,2013(3):111-112.8魏远金.函数凹凸性在高考中的应用J.高考研究,2006(11):25-28.
