1、函数对称中心的求法解析题目 函数 的图象是中心对称图象，其对称中心为_.32()67fxx一、利用定义求对称中心 分析 根据中心对称图形的定义，在函数 图象上的任意一点 关于对称中()fx(,)Axy心 的对称点 也在函数 的图象上.(,)ab(,)Axy()f ，即 . ，2xay2axyb(2,)Aaxby代入函数式有： ,32()()()6()7fxax化简得： ，322 32616781yxaaxb与 是同一函数，则对应系数相等，32()7f故 ， ， ，即函数 的对称中心为232617817aba13b()fx.(,3)点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函
2、数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心 分析 在函数 的图象上取点 、 ，它们关于对称中心 的对称点()fx(1,3)2, (,)ab分别为 、 也在函数 的图象上.(21,3ab2,ab(fx ，相减则 ，23()(1)6()7a 26(53)0a 或 .又若对称中心为 ，则 关于 的对称点 应13ab23(,1)2(0,7)3(,1)2(3,9)在函数图象上，而 ， 不是对称中心，故对称中心为 .()19f(,) (,)点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排
3、除增解. 三、巧构奇函数求对称中心 分析 把函数 变形为 ，设函数 ，()yfx3(1)()yx3()ygx 为奇函数，其对称中心为 ，又将函数 的图象按向量()ygx0,O3x平移刚好得到 ， 的对称中心是由1,3a 3()()yx()yf的对称中心 按向量 平移得到的，即为 的()yx0,)1,a1,3()yfx对称中心为 ,点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.【2013 春考】31 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7
4、分，第 3 小题满分 6 分。已知真命题：“函数 的图像关于点 成中心对称图形”的充要条()yfx( )Pab、件为“函数 是奇函数” 。(fab（1）将函数 的图像向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，32)gx求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 图像对称中()gx心的坐标；（2）求函数 图像对称中心的坐标；2()log4xh（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条()yfx件为“存在实数 a 和 b，使得函数 是偶函数” 。判断该命题的真)fab假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为
5、真命题（不必证明） 。解:（1）平移后图像对应的函数解析式为 ，32(1)()yx整理得 ，3yx由于函数 是奇函数，3由题设真命题知，函数 图像对称中心的坐标是 。()gx(1 2)，（2）设 的对称中心为 ，由题设知函数 是奇函2()log4xh( )Pab， ()hxab数。设 则 ，即 。(),fxhab2()()log4xfxba2()log4xfba由不等式 的解集关于原点对称，得 。204x此时 。2()()log (2 )fbx， ，任取 ，由 ，得 ，,x()0ff1b所以函数 图像对称中心的坐标是 。2()log4xh(2 )，（3）此命题是假命题。举反例说明：函数 的图像
6、关于直线 成轴对称图像，但是对任意()fxyx实数 和 ，函数 ，即 总不是偶函数。ab()yfxabyxab修改后的真命题：“函数 的图像关于直线 成轴对称图像”的充要条件是“函数()yfxxa是偶函数” 。fa长宁区 20132014 学年第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）22、 （本题满分 16 分，其中（1）小题满分 4 分， （2）小题满分 6 分， （3）小题满分 6 分）已 知 函 数 为 奇 函 数 .xaxflog)(2（ 1） 求 常 数 的 值 ；（ 2） 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 并 说 明 理 由 ；（ 3） 函数 的图象由函数 的图象先向右平移 2
7、个单位，再向上平移 2 个单位得)(xg)(xf到，写出 的一个对称中心，若 ，求 的值。1bg)4(b22、解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由 ，得01xa，所以 。 2分0)(1ax1a这时 满足 ，函数为奇函数，因此xflog2 )()(xff.1a4分（2）函数为单调递减函数. )12(log1)(2xxf法一:用单调性定义证明；法二：利用已有函数的单调性加以说明。在 上单调递增，因此 单调递增，又 在 及12x),()12(log2xx1)0,(上单调递减，因此函数 在 及 上单调递减；),0( (xf)0,1,法三：函数定义域为 ，说明函数在 上单调递减，因为函数为奇函数，,)0,(),(因此函数在 上也是单调递减，因此函数 在 及 上单调递减。,1xf01),(10分（3）因为函数 为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数)(xf的一个对称中心为 ， 13分)(xg2,因此有 ，因为 ，因此 16分4)(4xg1)(bg.3)4(bg
