1、1函数最值的几种求法新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,和高等教育的结合更加紧密.要想较好的完成新课标的教学任务,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法.一 由定义域直接求函数的最值一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若 y 是 x 的函数,则由x 的取值范围,并且根据一次函数的单调性,就能得到 y 的最大(小)值.例 1 变量 , , 均不小于 0,并满足 及 ,求函数xyzz32z34的
2、最大值与最小值 .zyxt423解 由 及 得,x3xzy34及 .)1(512xz又由 , , 均不小于 0,推出 .xyz2x再将 与 代入 得,)1(351zyt43,)2(1x它是单调递增函数,而 .所以,当 时, 有最小值 ;当 时, 有最大2xt61mintxt值 .7maxt二 用配方法求函数的最值 1对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况,即二次函数.当 时, 有最小值,即当 时,abcxacbaxy4)2(22 )0(ayabx2;当 时, 有最大值,即当 时, .42min0ybx2abc42max例 2 设 .求 和 .23)(xxfminyax解 由 得, .0323
3、12又因 ,4)1(42xy所以 当 时, 有最小值 ;24)1(miny当 时, 有最大值 .xyax例 3 设 在区间 上最小值为 ,求 的最大值. txf2)(-,g(t)t解 对 关于 配方得,.2)(ttxf由已知 得,当 时, ;当 时, ;当1xttg1)( 12)(ttfg时, .因此,当 时, 的最大值为 ;当 时,tftg3)()(tg0 (1,且 的最大值为 ;当 时, 的最大值412)(2tf )(t 42t)(t为 .1三 用判别式法（也称法）求最值判别式法就是利用二次方程 有实数根的充要条件 来求出0) (a= c+bx a2)0(函数的最值.除了二次函数,对于一些
4、常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的法来求最值,或如果一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用.例 42 求函数 的最值, 以及函数取最值时 的取值.xxy3184)64(x解 显然 .0等式两边平方有 ,)318)(22 xxy移项再平方整理得 ,04)1764(1624yx又由 ,08)74( 222 yy得 ,80又因为 并且y )31(4)214(2 xx3得 ,2y所以 .于是 当 时, ;当 时,6 x2miny9/x2maxy四 换元法就是通过换元把一个复杂的函数
5、变为简单函数.这种题的特征是函数的解析式中含有根式.当根式为一次式时, 用代数换元（直接换元）;当根式是二次式时,用三角换元.例 5 用换元法求函数 的最大值（无最小值）.xy21解 令 , .xt21)0(tt所以 .45)21()1(22 tttty于是 当 ,即 时, .1/2 t83x45maxy例 6 用三角换元法求函数 的最值.21x解 令 ,则 .所以,原函数变为txsin2t.)4sin(2cosin tisin 1 2 ttxy又因为 ,故 ,所以,当 ,即 , 时, 2t 43t 41x取得最小值 ;当 , , 时,取得最大值1)(miny2tt2x.2)(maxy五 利用
6、不等式求函数的最值基本不等式: 是求函数的最值问题的重要工具.但要注意取得ab2),(R最值的条件“一正, 二定 , 三相等” 3.并合理的进行拆分和配凑,灵活变形使得问题简捷从而获解.例 7 求函数 的最大值.142xy4解 ,而 (注意 , )当且仅当 ,即xxy21421x0x21x x21时, 有最小值 2.所以,当 时,原函数有最大值 .0xx210maxy六 利用导数求闭区间上连续函数的最值利用导数研究函数的性质尤其是函数的最值问题是强有力的手段.连续函数 在闭)(xf区间 上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出 的所有极值点(驻点和导数不存在,ba )xf的点);(2)计算并比
7、较 f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值 4.例 8 求函数 在闭区间 上的最值.25)(345xxf 2,1解 对原函数关于 求导数可得,.)3(50)( 234 xf令 , (舍去).再计算端点和导数为 0 点（驻点）处的函数值得, 0)(xf,13, , , .所以,当 时,原函数有最小9y2)xy3)1(xy6)2(xy1x值 ,当 时,原函数有最大值 .min ma七 数形结合法求函数的最值当要求的解析式明显具备某种几何意义时,如两点间的距离公式,直线斜率,直线在坐标轴上的截距等等.可以利用数形结合来求它的最值.例 95 求函数 的最大值和最小
8、值.xxfcos2in)(解 因为 ,现令 .则易知 表示一定点2cs0inx2cos0inxkkA（2,0）与单位圆 上的动点 连线的斜率的大小.如（图 1）.对于12yx)o,(ipL1 有: ,对于 L2 有: ,所以,当 时, ;当3mink3maxk3x3minaxky时, .3xaxiny5（图 1） （图 2）例 10 例 4 解法二.解 令 , ,则原函数可化为 .此时原问题xuxv38632vuy)0,(vu转化为曲线与直线有公共点时,在 轴上截距 的最值.如(图 2).显然可得,当直线过（y,0）点,即 时,在 轴上的截距 取得最小值 ;当直线与曲线相切,即26xvmin(
9、因为曲线 上任一点切线斜率为 ,要使直线与曲线相切则 /9x32uvu3,即 ,所以由 得, .于是, )时, 13vuvxx1842/92|)(/9xvuy在 轴上的截距 取得最大值 . y2may八 构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重性.用向量法解决代数问题的关键是善于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,构造合适的向量,把原有问题转化为向量问题求解,它是一种重要的数学思维方法.例 11 在 上,求函数 的最值.0x 2463222 xxy解 令向量 , ,则| , .令向量)31(p )8,(q p10q与 的夹角为 ,再令 , ,则 .如(图 3),pq2xm2xn2nm向量
10、 的终点落在以原点为心, 为半径的 圆周上 ,因为 的幅角为 .故两向量的夹0413角 ,所以 . 从而 ,301,2cos,cos102cos246322 qpxxy 6其中, ,故 . 12/cos102,y(图 3) 所以,当 时,即 ,其解为 或 （取正值,因为 ）21cos1022x4x20x, 即当 时, ;当 时,即 （即向量x0minycos832 x与 共线）,其解为 (取正值,因为 ),亦即当 时, pq26x0x26.102maxy总结:通过以上几种函数最值求法的总结归纳,可以对一些有关的题目进行解答,尤其是一些综合性强的题目,可以达到事半功倍的作用.函数是中学数学的主要内容.几乎可以用函数为纲,把中学数学各方面内容有机结合起来,许多数学综合题,可以转化为函数的问题进行讨论.函数是高考重点考查对象,而函数的最值又是高考的重点,每年必考.虽然教材上没有归纳介绍求解方法,但也不是完全无章可循.只要认真地分析所给的函数特点,灵活地运用所学的知识,是不难找到解决问题的途径和方法的.
