1、典型例题函数的单调性和奇偶性例 1 (1)画出函数 y-x 2+2x+3 的图像,并指出函数的单调区间解:函数图像如下图所示,当 x0 时,y-x 2+2x+3- (x-1 ) 2+4;当 x0 时,y-x2-2x+3- (x+1 ) 2+4在(- ,-1 和0,1上,函数是增函数:在-1 ,0和1,+ )上,函数是减函数评析 函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上(2)已知函数 f(x)x 2+2(a-1)x+2 在区间(-,4上是减函数,求实数 a 的取值范围分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解:f(x)x 2
2、+2(a-1)x+2x+(a-1) -(a-1) 2+2,此二次函数的对称轴是x1-a因为在区间(-,1-a 上 f(x)是单调递减的,若使 f(x)在(-,4上单调递减,对称轴 x1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合,即 1-a4,a-3评析 这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合例 2 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x) - (2)f(x)(x-1) 解:(1)f(x)的定义域为 R因为f(-x)-x+1- -x-1 x-1-x+1-f(x)所以 f(x)为奇函数典型例题(2)f(x)的定义域为x -1x1,不关于原点对称所以 f(x)既不是奇
3、函数,也不是偶函数评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下:(1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称(2)计算 f(-x),并与 f(x)比较,判断 f(-x)f(x)或 f(-x)-f (x)之一是否成立f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查 f(-x )f(x)0 是否成立,从而判断函数的奇偶性例 3 已知函数 f(x) (1)判断 f(x)的奇偶性(2)确定 f(x)在(- ,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+ )上呢?证明你的结论解:因为 f(x)的定义域为 R,又f(-x) f(x),所以 f(x)为偶函数(2)f(x)在(- ,0)上是增函数,由于 f(
4、x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+ )上为减函数其证明:取 x1x 20,f(x 1)-f(x 2) - 因为 x1x 20,所以x2-x10,x 1+x20,x21+10,x 22+10,得 f(x 1)-f( x2)0,即 f(x 1)f(x 2)所以 f(x)在(- ,0)上为增函数评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反例 4 已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+)上是增函数,且 f(x)0,试问F(x) 在(-,0)上是增函数还是减函数 ?证明你的结论典型例题分析 根据函数的增减性的定义,可以任取 x1
5、x 20,进而判定 F(x 1)-F(x 2) - 的正负为此,需分别判定 f(x 1)、f(x 2)与 f(x 2)的正负,而这可以从已条件中推出解:任取 x1、x 2(-,0)且 x1x 2,则有-x 1-x 20y f(x)在(0,+)上是增函数,且 f(x)0,f( -x2)f ( -x1)0 又 f(x)是奇函数,f( -x2)-f(x 2),f(-x 1)-f(x 1) 由、 得 f(x 2)f(x 1)0于是F(x 1)-F (x 2) 0,即 F(x 1)F( x2),所以 F(x) 在(- ,0)上是减函数评析 本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始就在(0,+)内
6、任取x1x 2,展开证明这样就不能保证-x 1,-x 2,在(-,0 )内的任意性而导致错误避免错误的方法是:要明确证明的目标,有针对性地展开证明活动例 5 讨论函数 f(x) (a0)在区间(-1 ,1)内的单调性分析 根据函数的单调性定义求解解:设-1x 1x 2,则f(x 1)-f(x 2) - x1, x2(-1,1),且 x1x ,x1-x20,1+x 1x20,(1-x 21)(1-x 22)0于是,当 a0 时,f (x 1)f (x 2);当 a0 时,f (x 1)f(x 2)典型例题故当 a0 时,函数在(-1 ,1)上是增函数;当 a0 时,函数在( -1,1)上为减函数
7、评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是:(1)设 x1、x 2 是给定区间内任意两个值,且 x1x 2;(2)作差 f(x 1)-f (x 2),并将此差式变形;(3)判断 f(x 1)-f (x 2)的正负,从而确定函数的单调性例 6 求证:f(x)x+ (k0)在区间(0,k上单调递减解:设 0x 1x 2k,则f(x 1)-f(x 2) x1+ -x2- 0 x1 x2k,x1-x20,0x 1x2k 2,f( x1)-f(x 2)0f( x1)f(x 2),f( x)x+ 中(0,k上是减函数评析 函数 f(x)在给定区间上的单调性反映了函数 f( x)在区间上函数值的变
8、化趋势,是函数在区间上的整体性质因此,若要证明 f(x)在a,b上是增函数(减函数),就必须证明对于区间a,b上任意两点 x1,x 2,当 x1x 2 时,都有不等式 f(x 1)f(x 2)(f ( x1)f (x 2)类似可以证明:函数 f(x)x+ (k0)在区间k,+上是增函数例 7 判断函数 f(x) 的奇偶性分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号典型例题解:由 得函数的定义域为-1,1这时,x-2 2-xf( x) ,f( -x) f(x)且注意到 f(x)不恒为零,从而可知, f(x) 是偶函数,不是奇函数评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性,若不作深入思考,便会作出其非奇非偶的判断但隐含条件(定义域)被揭示之后,函数的奇偶性就非常明显了这样看来,解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题过程