1、1函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析： 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 函数 f(x)在 x=x0 处连续的充要条件是在 x=x0 处左右连续。 计算函数极限的方法，若在 x=x0 处连续，则 。 若函数在a,b上连续，则它在 a,b上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1求极限 解析： 。 。 。 。 例 2已知 ，求 m,n。解：x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式 x=-2 是方程 x2+mx+2=0 的根， m=3 代入求得 n=-1。 例 3讨论 的连续性。 解析：函数的定义域为(-,+)，由初等函数的连续性知，在非分界点
2、处函数是连续的， 又 ， ， f(x)在 x=1 处连续。 由 ， 2从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 f(x) 在(-,-1),(-1,+)上连续，x=-1 为函数的不连续点。 例 4已知函数 , (a,b 为常数) 。 试讨论 a,b 为何值时，f(x) 在 x=0 处连续。 解析： 且 ， ， a=1, b=0。 例 5求极限 解析： 。 。 例 6设 ，问常数 k 为何值时，有 存在？ 解析： ， 。 要使 存在，只需 ， 2k=1，故 时， 存在。 例 7求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ 解析：由 ， ， ， f(x)在 x=-1 处极限不
3、存在。 训练题： 1 ，则 2 的值是_。 3. ，则 =_。 4 ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。35已知 ，求 a 的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 在线测试选择题2 和 存在是函数 存在的（）。 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 3 ，则下列结论中不正确的是（ ）。 A、 B、 C、f(x 0)=a D、f(x 0)可能不为 a 4设 ，若 存在，则常数 b 的值是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、e 5对于函数 ，给定下列命题 其中正确的是（ ）。 A、和 B、和 C、都成立 D、
4、6有下面四个命题： （1）如果函数 f(x)在点 x0处极限存在，那么 f(x)在点 x0处连续； （2）如果函数 f(x)在点 x0处左连续又有右极限，那么 f(x)在点 x0处连续； （3）如果函数 f(x)在点 x0处不连续，g(x)在点 x0处连续，则 f(x)g(x)在点 x0处不连续； （4）函数 在-1，1上存在最大值和最小值。 其中错误的命题有（ ）。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 7“函数 f(x)在点 x0处有定义且极限存在” 是“f(x)在点 x0处连续”的（ ）。 A、充分不必要条件 B 必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 48
5、已知函数 则下列结论正确的是（ ）。 A、f(x)在点 x=1 处不连续，在点 x=2 处连续 B、f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=2 处不连续C、f(x)在点 x=1 和 x=2 处都不连续 D、f(x)在点 x=1 和 x=2 处都连续 9设函数 在区间0，+上连续，则实数 a 的值是（ ）。 A、1 B、2 C、3 D、0 10对函数 ，下列说法正确的是（ ）。 A、f(x)在 x=1 处连续，在开区间(0，1)内不连续B、f(x)在 x=1 处不连续，在开区间(0，1)内连续C、f(x)在 x=1 处及开区间(0，1)内均连续D、f(x)在 x=1 处及开区间(0，1)内都不连
6、续答案与解析 答案：2.B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D 9. B 10. B 解析：2.若 ，则函数 不存在。3 根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：，所以 A、B 正确；，需看函数 在点 x=x0处是否有定义，因此选 C。4.提示：若 存在，则 ， ，所以 b=1。5.提示：容易求得 正确，也可知 ，所以 不存在，不成立。7.提示：f(x)在点 x0处连续必须满足三个条件：（1）函数 f(x)在点 x0处有定义；（2） 存在；5（3） ，即函数 在点 x0处的极限值等于这一点的函数值。因此“函数 f(x)在点 x0处有定义且极限存在” 是“f(x)在点 x0处连续”的必要不充分条件。8.提示：首先，函数 在点 x=1 和点 x=2 处有定义，而且 ， 。所以 f(x)在点 x=1 和 x=2 处都连续。9.提示：因为函数 在区间0，+上连续，所以 。10.提示：函数 ，其中 x1，所以 f(x)在 x=1 处不连续；当 x1 时， 在开区间(0, 1)内连续。76
