1、24 函数的奇偶性【知识网络】1奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】例 1 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ）偶函数的图象一定与 y 轴相交；函数 为奇函数的充要条件是 ；偶函()fx(0)f数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR） A1 B2 C3 D4提示：不对，如函数 是偶函数，但其图象与 轴没有交点；不对，因为奇21()fxy函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（ ， ） ，答案为 Aa（2）已知函数 是偶函数，且其定义域为
2、 ，则（ 2()3fba 1,2a） A ，b0 B ，b0 C ，b0 D ，b031a11a3提示：由 为偶函数，得 b02()3fxa又定义域为 ， ， 故答案为 A,()23（3）已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 ）在 R 上()f x2()fx()fx的表达式是（ ）A B C D (2)yx(|2)yx|()y(|2)y提示：由 时， ， 是定义在 R 上的奇函数得：02(ff当 x0 时， ，)2x ，即 ，答案为 D(0)2(xf (|f（4）已知 ，且 ，那么 f（2）等于 538fab2)106提示： 为奇函数， ， ，()8xx8f()8126f（5）已知
3、是偶函数， 是奇函数，若 ，则 的解析式为()f()g)(xgf ()fx提示：由 是偶函数， 是奇函数，可得 ，联立()fx()gx 1)(xf，得： ， 1gf 2121fx)(2f例 2判断下列函数的奇偶性：（1） ；(2) ；()xfx2()f（3） ；（4） 2lg(1)|xf2(0)()xf解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称， 为非奇非偶函01, ()fx数(2) ， 既是奇函数又是偶函数2210xx()0fx()fx（3）由 得定义域为 ，2|x(1,), ，2lg(1)f2lgx 为偶函数22()()xx(f()fx（4）当 时， ，则 ，022()fxfx当 时，
4、，则 ，()()综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数,fxff例 3若奇函数 是定义在（ ，1）上的增函数，试解关于 的不等式：()fxa2()40fa解：由已知得2(4)faf因 f(x)是奇函数，故 ，于是 2fa2()(4)ff又 是定义在（ 1，1）上的增函数，从而()fx2341 32535aaaa或即不等式的解集是 (,2)例 4已知定义在 R 上的函数 对任意实数 、 ，恒有 ，且当(fxxy()()fxyfx时， ，又 0x()0fx1)3（1）求证： 为奇函数；（2）求证： 在 R 上是减函数；（3）求 在 ，6()fx()fx3上的最大值与最小值（1）证明：令 ，可得
5、，从而，f(0) = 00xy()0()(fff令 ，可得 ，即 ，故 为奇函y()fx)(xf()fx数（2）证明：设 R，且 ，则 ，于是 从而12,x12120x12()0f12 212()()()()fxffxffxfx所以， 为减函数()fx（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 ，最小值为 (3)f(6)f()(2)12)12fffff634f于是， 在-3 ，6上的最大值为 2，最小值为 -4()fx【课内练习】1下列命题中，真命题是（ C ）A函数 是奇函数，且在定义域内为减函数1yxB函数 是奇函数，且在定义域内为增函数30()C函数 是偶函数，且在（ 3，0）上为减函数2
6、D函数 是偶函数，且在（ 0，2）上为增函数yaxc提示：A 中， 在定义域内不具有单调性； B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，1当 时， 在（0，2）上为减函数，答案为 C02()2 若 ， 都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，)(xg()(2fxabgx则 在（，0）上有（ ）fA最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3提示： 、 为奇函数， 为奇函数)(x )(2)(f又 有最大值 5， 2 在（0，）上有最大值 3fx 2 在 上有最小值3， 在 上有最小值1答案为 C()(,)()fx,0)3定义在 R 上的奇函数 在（0，+）上是增函数，又 ，则不等式(fx(f的
7、解集为（A）()0xfA （3，0）（0，3） B （，3）（3，+）C （3，0）（3，+ ） D （，3）（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为 A4.已知函数 是偶函数， 在0，2上是单调减函数，则（A）()yfx()yfxA. B. (0)12f1()2fC. D. ()0f 20f提示：由 f（x 2）在0，2上单调递减， 在 2，0上单调递减.()x 是偶函数， 在0，2上单调递增. 又 ，故应选 A.()y()fx(1)ff5已知 奇函数，当 （0，1）时， lg ，那么当 （1，0）时，fx()fxx的表达式是 ()fxlg(1)x提示：当 （1，0）时， （
8、0，1） ， 1()lgl()fxf x6已知 是奇函数，则 = 2008xaf2lo)(3207aa提示： ， ，解得： ，经检验适合，0g01120728a7若 是偶函数，当 0，+)时， ，则()fxx()fx的解集是1|2提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 的图象，由图可知f的解集为 ， 的解集为 .()0f|1(1)0|02x8试判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ； （3） ()|2|fxx)(2xf 0)1(|)(xf解：（1）函数的定义域为 R， ，|2|f xf故 为偶函数()fx（2）由 得： ，定义域为 ，关于原点对称，20|3|10x且 1,0)(,， ，
9、故 为奇函数221()xf2()()ffx()f（3）函数的定义域为(-， 0)(0，1) (1，+) ，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数9已知函数 对一切 ，都有 ，若 ，用()fx,yR()()fyfy(3)fa表示 a12f解：显然 的定义域是 ，它关于原点对称在 中，xf令 ，得 ，y(0)()ffx令 ，得 ， ，x0()0f ，即 ， 是奇函数()fx ， 3a(12)(6434ff a10已知函数 是奇函数，又， ， ，求 、 、,)abcZ(1)2f()3fab的值.c解：由 得 c=0. 又 ，得 ，()(fxf(x a而 ，得 ，解得 .23413a12a又 ， 或 .aZ0若 ，则 b= ，应舍去； 若 ，则 b=1Z.Z .1,bc
