1、一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标 y 是另一个经济指标 x 的函数 ，那么当自变量有改变量)(xfy时，对应有函数的改变量 .在经济学中，当自变量在 x 处有一个单位改变量时，所对x应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在 x 处的边际量.例如当生产量在 x 单位水平时的边际成本，就是在已生产 x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设 x 的改变量为 时，经济变量 的改变量为 = ，则相应于 ,yyy)(xfxfx的平均变化率是 xffx)(由边际的概念，在上式中取 或 就可得到边际量的表达式.但边际概念的1定义和计算使
2、我们想到能否用函数 的导数作为 y 的边际量呢？如果按纯粹的数学)(fy概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量 x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1 个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数 xffxf)(lim)(0表示经济变量 y 的边际量，即认为 的经济意义是自变量在 x 处有单位改变量时所引起函数 的改变数量.1边际成本在经济学中，边际成
3、本定义为产量为 x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为 xC)(它表示产量由 x 变到 x+ 时，成本函数的平均改变量.当成本函数 可导时，根据导数定义，成本函数在 x 处变化率为()Cx)(lim)(0在经济上我们认为 就是边际成本.因此，边际成本 是成本函数 关于产x C)(x量 x 的 一 阶导数 .，它近似等于产量为 x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即 )(1()( xC在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本 ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量 x0C的变化而改变，生产的这部分成
4、本是可变成本，以 记，于是成本函数可表示为)(1xC)(0x此时边际成本为 )()(10xC由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为 时的边际成本 和此时已花费的平)(C均成本 做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产xC)(量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为 x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数 是可导的，收入函数的变化率是)(xRxRx)(lim0
5、同边际成本道理一样，我们认为 就是边际收入.因此，边际收入 是收入函) )(xR数 关于产量 x 的 一 阶导数.，它近似等于销量为 时再销售一个单位产品所增加（或)(R减少）的收入.即 )(1()( xRxR设利润函数为 ，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)xLC则边际利润是 )()(xx因此，边际利润 是利润函数 关于产量 x 的 一 阶导数，它近似等于销量为 x)(xL时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中
6、的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为 和5203)(xxC，其中 为产量，单位为件， 和 的单位为千元，求：2035)(xxR )(xR（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 xxC520)(边际收入 13R边际利润 xL103)()(（2）当产量为 20 件时，其收入和利润为（千元）722035)(（千元）68)(20CRL其边际收入与边际利润为（千元 /件）35210)(（千元/件）1482)0( L上面计算说明，在生产 20 件产品的水平上，再把产品都销售的利润
7、为负值，即发生了亏损，亏损值为 60 千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为 352 千元，从而得利润 144 千元.这样以来，该企业的生产水平由 20 件变到 21 件时，就将由亏损 60 千元的局面转变到盈利 千元的局面，故应该再增加产量.84601二、弹性分析一个简单引例.设 ，当 x 由 10 变到 11 时，y 由 100 变到 121.显然，自变量和函2y数的绝对改变量分别是 =1， =21，而它们的相对改变量 和 分别为xy=x%10=y2这表明，当自变量 x 由 10 变到 11 的相对变动为 10%时，函数 y 的相对变动为 21%，这时两个相对改变量的比为 1.2
8、%0xyE解释 E 的意义：x =10 时，当 x 改变 1%时，y 平均改变 2.1%，我们称 为从 x=10 到Ex=11 时函数 的平均相对变化率，也称为平均意义下函数 的弹性.2y 2xy这个大小度量了 对 x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经)(f济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限 00000 /)()(lim/)(li xfffxfyxx 存在，则称此极限值为函数 在点 x0 处的点弹性，记为 ，)(fy0xEyfxExy)(lim00 )(00f称 为函数 在区间的点弹性函数，简称弹性函数.)(fxEyf而称 0000/)()(/
9、)(xfffxfy为函数 在以 x0 与 x0+ 为端点的区间上的弧弹性.)(fy弧弹性表达了函数 当自变量 x 从 x0 变到 x0+ 时函数的平均相对变化率，而点)(f弹性正是函数 在点 x0 处的相对变化率.f例 2 求指数函数 的弹性函数.)1,(ay解 因为 axln所以 .xEln1. 需求弹性函数的弹性表达了函数 在 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改)(xf变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量 是价格 的函数： ， 是可导函数，则称Qp)(pQE)(为该商品的需求价格弹性，简称为
10、需求弹性，记为 .p可以这样解释 的经济意义；当商品的价格为 时，价格改变 1%时需求量变化的百p分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以 m 公斤/元来度量，在美国将以 公斤/美元来度量，这就无法比n较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而 ,这说明需求0)(pQ价格弹性 一般是负的.由此，当商品的价格上
11、涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上p涨）约 ，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值 ,一% p般在经济分析中将需求弹性记为 .p当 时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；1p当 时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当 时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低1p于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（ ）或降价（ ）对总收入的0p0p影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为 ，则 ，此时边际收入为RpQ（2）)(
12、)1()1(p当 很小时,有p（3）pRp)()(Qp)(由此可知，当 （高弹性）时，商品降价时( )， ，即降价可使收1p 0R入增加，商品提价时( )， ，即提价将使总收入减少 .0当 （低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加.p当 （单位弹性）时， ，提价或降价对总收入无影响.1R上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例 3 设某种产品的需求量 与价格 的关系为Qpp)41(60)(（1）求需求弹性；（2）当产品的价格 时再增加 1%，求该产品需求量变化情况.10p解 （1）由需求弹性公式 pppQ)41(60)(139.4ln需求弹
13、性为-1.39p，说明产品价格 增加 1%时，需求量 将减少 1.39 %.Qp（2）当产品价格 时,有10p9.130.p这表示价格 时，价格增加 1%，产品需求量将减少 13.9%；如果价格降低 1%，产品的需求量将增加 13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例 4 已知某企业的产品需求弹性为 2.1，如果该企业准备明年降价 10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当 较小时ppQd即 p故当 ， 时，有1.2p.0%21).0(.2Q因为 R=PQ，由(3) 式有 pRp)1(p)(当 时，有1.2p 1).0(.2(可见，明年企业若降价 10%，企业销量将增加 21%，收入将增加 11%.
