1、三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法第一节 平面向量的概念及其线性运算知识能否忆起一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于 1 个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算 定义 法则( 或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律： (ab)ca(bc)减法求 a 与 b 的
2、相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差 三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a| |a|；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 |b| ，则 ab；， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中假命题的个数为( )A1 B2C3 D4自主解答 不正确当起点不在同一直线上时， 虽然终点相同，但向量不共线正确 ，| | |且 .BCAC又 A，B，C，D 是不共线的四点，四 边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形， 则 AB 綊 DC 且 与 方向相同，因
3、此ABD .不正确两向量不能比较大小不正确当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线答案 C由题悟法1平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法2几个重要结论三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行，
4、则 a| a|a0； 若 a 与 a0 平行且 |a|1，则 aa 0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A0 B1C2 D3解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a| a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a| a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.向量的线性运算典题导入例 2 (1)(2011 四川高考) 如图，正六边形 ABCDEF 中， BA ( )CDEFA0 B EC D CF(2)在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 ADBC13 A
5、B等于( )A. B.23 13C D13 23自主解答 (1)如图，在正六边形 ABCDEF 中， ， CDAFB，E BAFBAEFBECF .(2) ， ，CDC2 .D三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法又 2 ，ADB2 C13A ( )13 C .23 43 B ，即 .CD13 A2323答案 (1)D (2)A若(2)中的条件作如下改变：若点 D 是 AB 边延长线上一点且| | |，若 BDAC ，则 的值为_CBA解析： 2 2( )DCABC2 . 2，1. 3.答案：3由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、
6、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识以题试法2(2012汉阳调研)若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ； ；ABBCAD .其中正确的有( )CA0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 C 式的等价式是 ，左边 ，右边ACABC ，不一定相等；式的等价式是D ， 成立；式的等价式是 ABB ， 成立D三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法共 线 向 量典题导入例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若 ab， 2a8b， 3( ab)求证：A，B，D 三点共线；ABC(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb
7、共线自主解答 (1)证明： ab， 2a8b，3(ab) ，CD 2a8b3( ab)B2a8b3a3b5(ab) 5 .A ， 共 线，又 它们 有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)kab 与 akb 共线， C存在 实 数 ，使 kab (akb)，即 kabakb.(k )a( k 1)b.a，b 是不共线 的两个非零向量，k k10，即 k210.k1.由题悟法1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系以题试法3已知 a，b 不共线， a，
8、b， c， d， e，设 tR，如OABOCDOB果 3ac,2bd ，e t(ab)，是否存在实数 t 使 C，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由解：由题设知， dc 2b3a， ec ( t3)atb，C ，D，E 三点在一条直CD线上的充要条件是存在实数 k，使得 k ，即 (t3) atb3ka2kb，三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法整理得(t33k )a(2kt)b.因为 a，b 不共线，所以有Error!解之得 t .65故存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上651下列等式：0 aa；(a) a；a(a)0；a
9、0 a；aba( b) 正确的个数是( )A2 B3C4 D5解析：选 C a(a)0，故错2(2012福州模拟)若 ab c0，则 a，b，c( )A都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B一定不可能构成三角形C都是非零向量时能构成三角形D一定可构成三角形解析：选 A 当 a，b，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当 a，b，c 为非零向量共线时不能构成三角形3(2012威海质检)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若 2 3 ，则OCB的值为 ( )|A. B.12 13C. D.14 16解析：选 A 由 2 3 ，得 2 2 ，即OCBOABOC2 ，所以 .BC| 124(
10、2012海淀期末)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B)，那么 ( )F三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法A. B. 12AB13 D14AB12 DC. D. 13 12 12 23解析：选 D 在CEF 中，有 ，因为点 E 为 DC 的中点，所以EFC .因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 .所以 EC12 23 BF12DC23 .B12A2312 B23A5(2013揭阳模拟)已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 0，则OAABC 的内角 A 等于( )A30 B60C90 D120解析：选 A 由
11、 0 得 ，由 O 为ABC 外接圆的圆CC心，结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形，且CAO60，故 A30.6已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，BP则点 P 与ABC 的关系为( )AP 在ABC 内部BP 在ABC 外部CP 在 AB 边所在直线上DP 是 AC 边的一个三等分点解析：选 D ，PBCA ， 2 2 ，A PP 是 AC 边的一个三等分点7(2012郑州五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 216，|BC | | |，则| |_.BCA解析：由| | |可知， ，则 AM 为 RtABC 斜边 BC
12、上BC的中线，因此，| | | |2.12 答案：28(2013大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ，OAB， 满足等式 ，则四边形 ABCD 的形状为_OCDACBD解析： ， ，AC三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 .四边形 ABCD 为平行四边形BACD答案：平行四边形9设向量 e1，e 2 不共线， 3(e 1e 2)， e 2e 1， 2e 1e 2，给出下列ABCD结论：A ，B，C 共线；A ，B，D 共线；B，C ，D 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_解析：由 4e 12e 22 ，且 与 不共线，可得 A，
13、C，D 共B线，且 B 不在此直线上答案：10设 i，j 分别是平面直角坐标系 Ox，Oy 正方向上的单位向量，且2imj， n i j， 5i j，若点 A，B ，C 在同一条直线上，且 m2n，OAOC求实数 m，n 的值解： (n 2)i(1 m) j，BA (5n)i 2j.C点 A，B，C 在同一条直 线上， ，即 .(n 2)i(1 m)j(5n)i2jError!解得Error!或Error!11.如图所示，在ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， ， a， b.AE23 BAC(1)用 a，b 表示向量 ， ， ， ， ；EBF(2)求证：B，E，F 三点共线解：(1
14、)延长 AD 到 G，使 ，AD12连接 BG，CG，得到ABGC，所以 ab， (ab)，12 G12 (ab)，AE23 D13 b，F12 C12三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 (ab)a (b2a) ，BEA13 13 ba (b2a) F12 12(2)证明：由(1)可知 ，又因 为23BF， 有公共点 B，BE所以 B，E，F 三点共线12设 e1，e 2 是两个不共线向量，已知 2e 18e 2，Ae 13e 2， 2e 1e 2.CD(1)求证：A，B，D 三点共线；(2)若 3e 1ke 2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值F解：(1)证明：由已知
15、得 (2 e1e 2)(e 13e 2)e 14e 2C 2e18e 2， 2 ，又 AB 与 BD 有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)由(1)可知 e 14e 2，且 3e 1ke 2，FB，D，F 三点共线，得 ，D即 3e1ke 2e 14e 2，得Error! 解得 k12，k12.1.如图所示，已知点 G 是ABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 x ， y ，则 的值为ABNACxyx y( )A3 B.13C2 D.12解析：选 B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面 BC 的直线，易得 .xyx y 132(2012吉林四平质检)若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足5 3 ，则ABM 与ABC 的面积比为( )AM
