1、第 1 页 共 5 页 二次函数定义及图像性质1、二次函数的定义：如果 是常数， ，那么 叫cbaxy,(2)0ay做 的二次函数.x【例题 01】函数 是二次函数，求常数 的值。24()myxm【变式 01】函数 （ 是常数） ， 为何值时是二次函数？xxym)1()1(232、二次函数图像与性质1) 抛物线 中， 的作用cbxay2a, 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ： 当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 越 大 ， 抛 物00aa线 的 开 口 越 小 。 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 ： 对称轴ba 2bxa 与 b 同
2、号 （ 即 ab 0） 对 称 轴 在 y 轴 左 侧 a 与 b 异 号 （ 即 ab 0） 对 称 轴 在 y 轴 右 侧 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2 ，抛物线经过原点 ,与 轴交于正半轴 ,与 轴交于负半轴00cy【例题 02】已知二次函数 的图象如图则下列 5 个代数式：2ab， ， ， ， 中，其值大于 的个acb4c数为（ ） A2 B3 C4 D5【例题 03】 （2009 湖北省荆门市）函数 与 （a0）图象可能是（ 1yax21yxb）第 2 页 共 5 页A B C D1 1 1 1xo yyo xyo xxo y【变式 02】已知二次函数 的图象 5
3、个结论： 2(0)yabc0abc ，其中正确的结论有：bac420bc3()1ma（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个【变式 03】 （09 年华师一附中）已 , 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） ，若二次AB函数 的图象与线段 恰有一个交点，则 取值范围是_2(3)yxa a2）增减性，最大或最小值 当 时，在对称轴左侧（当 时） ， 随着 的增大而减少；在对称轴右侧0a2bxayx（ 时） ， 随着 的增大而增大；函数有最小值，并且当 = ，bxy ab2；2min4cya 当 时，在对称轴左侧（当 时） ， 随着 的增大而增大；在对称轴右侧02bxayx（
4、当 时） ， 随着 的增大而减少；函数有最大值，并且当 = ，2bxay ab2max4cy【例题 04】已知二次函数 . 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;21yx当 为何值时, 随 的增大而减小? 当 为何值时， 随 的增大而增大? 该函数是有x yx最大值还是最小值? 此时 的值为多少？第 3 页 共 5 页【例题 05】已知函数 ，其中自变量 为正整数， 也是正整2()(1)yaxxxa数，求 为何值时，函数值最小？（提示：对称轴分类讨论的题型）x【变式 04】已知二次函数 的图像与 的图像关于 轴对2yaxbm2yxmy称， 是前者图像上的两点，试比较 的大小；12(,)3,q
5、 12q与【变式 05】已知二次函数 及实数 ，求：函数在 的最小2yx2a2xa值；函数在 的最小值；ax【变式 06】设函数 是关于 的二次函数，当 的取值范围是2(1)yxaxx时， 在 时取得最大值，则实数 的取值范围是（ ）13x aA B C D5a5 33a【变式 07】 （09 年“五羊杯”初三数学） 、 都是有理数，对于函数b= ，定义域为 ， ， （ ） ，值域为 ， ，则 的值是多少？()fx21a-b2第 4 页 共 5 页3）二次函数 图象的画法2yaxbc 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确2yaxbc2()yaxhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，
6、然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点y0c，c，、2hc，与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .x10x2x 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点。【例题 06】 （09 年佛山中考）请在坐标系中画出二次函数 的大致图象；2y在同一个坐标系中画出 的图象向上平移两个单位后的图象；写出平移后的2yx解析式【变式 08】若方程| |= 有四个解，则 的取值范围是 _241xaa4）图像平移的几种方法： 方法一：先配方成 的形式，然后按照“左加右减”的原则进行平移2()yaxhk 方法二：直接对解析式中的 进行“左加右减” ；对 右侧进行“上加下减” 。y【例题 07】二次函数 的图象向左平移 2 个单位, 再向上平移 3 个单位, 得2bc二次函数 ， 求 和 .21yx【变式 09】设抛物线 ，把它向右平移 个单位，或向下移 个单位，都能使得抛2yxpq物线与直线 恰有一个交点，求 、 的值。4q第 5 页 共 5 页
