(第3讲)运用向量法解题的思路及方法.doc

1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jC1 D1B1 A1C DB AC1 D1B1 A1CDBA题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j运用向量法解题高考要求 头htp:/w.xj

2、kygcom126t126.hp:/wxjkygco 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二是向量的坐标运算体现了数与形

3、互相转化和密切结合的思想 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)要解决

4、的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且C 1CB=C 1CD=BCD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求证 头htp:/

5、w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C 1CBD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)当 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请1D给出证明 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查考生应用向量法解决向量垂 直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是以向量来论证立体 几何中的垂直问题，这就使

6、几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 利用 =0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数ab量积为零即可 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t12

7、6.hp:/wxjkygco 设 = , = , ,依题意，| |=| |， 、 、 中两两所成CBD1Ccab1C夹角为 ， 于 是= ，Dab= ( )= =| | |cos | | |cos =0,C 1CBD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1CBAcabab(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 若使 A1C平面 C1BD，只须证 A1CBD，A 1C DC1，成都市第九中学 第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由 111()()CADAC

8、=( + + )( )=| |2+ | |2abcabc=| |2| |2+| | |cos | | |cos =0,得当| =| |时，A 1CDC 1，同理可证当| |=| |时，A 1CBD， =1 时，A 1C平面 C1BD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1D例 2 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，AA 1=2，M、N 分别是 A1B1、A 1A 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求 的长；N(2)求 cos的值；1,BAC(3)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:

9、/wxjkygco A 1BC 1M 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 Oxyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题的难点是

10、建系后，考生不能正确找到点的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j依题意得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco B (0，1，0)

11、，N(1，0，1)| |= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3)()()(2(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 依题意得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A 1(1，0 ，2) ，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j = =(0，1，2)(,)=10+(1)1+22=31BC| |=A6)02()1()0(221| 511 30cos,|BACMNC1 B1A1C BAoxzyMNC1 B1A1CBAoxzy成都市第九中学 第 3 页

12、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(3)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 依题意得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C 1(0，0，2)，M ( )2,1(,)(,)CMAB 1 10,2ABCMA 1BC 1M 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 3 三角形 ABC 中， A(5，1)、 B(1，7)、 C(1，2)，求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1) BC 边上

13、的中线 AM 的长；(2) CAB 的平分线 AD 的长；(3)cos ABC 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)点 M 的坐标为 xM= )9,0(,7;0M229|(50)().A2222(2)|1710,|(51)()5BACD 点分 的比为 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j Cx D= 3,3D224|(5)(1).A(3)ABC 是 与 的夹角，而 =(6，8） ， =(2，5） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jBCBAC226() 9cos 4

14、5| 0A学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 A、B、C、D 四点坐标依次是(1，0) ，(0，2)，(4，3)，(3，1) ，则四边形 ABCD 为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j正方形 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j矩形 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j菱形 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行四边形2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知ABC 中， = ， = ， 0，S

15、ABC = ,| |=3,| |=5,则 与 的夹角aba45aba是( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j30 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j150 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j150 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j30或 1503 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 将二次函数 y=x2 的图象按向量 平移后得到的图象与一次函数 y=2x5 的图象只有一个公共点(3， 1)，则向量 =_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j

16、 等腰ABC 和等腰 RtABD 有公共的底边 AB，它们所在的两个平面成 60角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在 ABC 中，设 = ， = ， = , ABaCbAP PCFB EDADMC(1,2)B(-1,7)A(5,-1)oyx成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j= ,(0 1), = (0 1),试用向量 ， 表示 头htp:/w.xjkygcom1

17、26t:/.j ADaAEbab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A 1、C 1 的坐标；(2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知两点 M(1，0)，N(1，0)，且点 P 使 成公差小于零的等,MNPN差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)若点 P 坐标为

18、(x 0,y0),Q 为 与 的夹角，求 tan 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 E、F、 G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD 、DA 的 中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)用向量法证明 E、F、G、 H 四点共面；(2)用向量法证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 对空间任一点 O，有

19、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1()4MAOBCD参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco =(1，2） ， =(1，2） ， = ， ，ABDCA又线段 AB 与线段 DC 无公共点，ABDC 且| AB|=|DC|，ABCD 是平行四边形，又| |= ， =(5，3） ，| |= ，AB5C34| | , ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 =(4，1） ，14+21=60, 不垂直于 ，BCBA

20、BCD 也不是矩形，故选 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco D2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 35sin 得 sin = ,则 =30或 =150 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j45又 0, =150 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C3 头htp:/w.xjkygcom126t:

21、/.j (2,0) 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 13 cm5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 与 共线， =m =m( )=m( ),BPEBPEABba = + = +m( )=(1m ) +m Aaba成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 与 共线， =n =n( )=n( ),CPDCPADCab = + = +n( )=n +(1n) Aba由，得(1m） + m

22、 = n +(1n) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb 与 不共线， ab10即解方程组得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco m= ,n代入式得 =(1m) +m = (1- ) + (1- ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab1ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，

23、建立空间直角坐标系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由已知，得 A(0，0，0） ，B (0，a,0）,A 1(0,0, a),C1( a) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2,3(2)取 A1B1 的中点 M，于是有 M(0， a） ，连 AM，MC 1，,有 =( a,0,0）,且 =(0，a,0）, =(0,0 a)1MC232由于 =0， =0，所以 MC1面 ABB1A1，AB1CAC 1 与 AM 所成的角就是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =C3(,2),(0,),2aa21 904AM2

24、2213 3| 3,|4aCaAM而 2194cos,3Aa所以 所成的角，即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1CM与7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设 P(x,y）,由 M(1，0） ，N(1，0）得，成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j= =(1x,y）,PM=(1x,y ),N= =(2,0), =2(1+x), =x

25、2+y21, =2(1x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jPPNMNP于是， 是公差小于零的等差数列，,M等价于 03 0)1(2)( )1(22xyxyx即所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)点 P 的坐标为(x 0,y0)2 22001,|()()MNPMNy2000(4)4x20cos|P013,cos,23x|3cosinta,4sin 0220 yxx8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1 ）连结

26、 BG，则 1()EGBEBCDEBFHE由共面向量定理的推论知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco E、F 、 G、H 四点共面，( 其中 = ）21D(2）因为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1)2HAA所以 EHBD ，又 EH 面 EFGH，BD 面 EFGH所以 BD平面 EFGH 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(3）连 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG成都市第九中学 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由(2）知 ，同理 ，所以 ，EH FG,所以 EG、FH 交于一12EHBD12FGBEHFG点 M 且被 M 平分，所以1()()()2OOAOCD 1.4AC课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco