1、1第十三讲 相似一、课标下复习指南1成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比如果线段 a 和 b 的比等于线段 c 和 d 的比，那么线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，记作 或 abcd，其中 a，c 叫做比的前项，b，d 叫做比的后项，b，c 叫做比例内项，a，d 叫做比例外项，d 叫做 a，b，c 的第四比例项若 ，则称 b 是 a，c 的比例中项线段的黄金分割点与黄金分割比2比例的性质成比例的数具有下面的性质：(1)基本性质： ;bcadcb(2)反比性质： ;*(3)更比性质： 或dbcab;*(4)合比性质： *(5)等比性质： kbaba321 121
2、bak (其中 k 为正整数，且 b1b 2b 3b k0)3相似多边形对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比4三角形相似的判定(除相似三角形的定义外 )(1)平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(2)判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似即“两角对应相等，两三角形相似” (3)判定定理 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” (4)判定定理 3 如果一个三
3、角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似即“三边对应成比例，两三角形相似” (5)若 1 2、 2 3、则 1 3对于直角三角形相似，还有如下判定定理：(6)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(7)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等；2(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方6相似多边形的性
4、质(1)相似多边形的对应角相等；(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方7直角三角形中的成比例线段如图 131，在 RtABC 中，C90，CDAB 于 D，则(1) ADCACBCDB(可拆成三对相似三角形 )；图 131(2)CD2 ADDB；(注：用时要证明)(3)AC2AD AB，BC2BDBA ；(注：用时要证明)(4)CDABAC BC (注：用时要证明)8位似(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心(2)如果两图形 F 与 F是位似图形，它们的
5、位似中心是点 O，相似比为 k，那么设 A 与 A是一对对应点，则直线 AA过位似中心 O 点，并且 .A设 A 与 A，B 与 B是任意两对对应点，则 若直线 AB，AB不通过kBA位似中心 O，则 ABA B(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k 那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k9相似图形的应用二、例题分析例 1 已知：如图 132，点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，PB3，BFBP于点 B，试在射线 BF 上找一点 M，使得以点 B，M，C 为顶点的三角形与ABP 相似，作图并指出相似比 k
6、 的值3图 132分析 由已知， ABP CBF欲使以点 B，M ，C 为顶点的三角形与ABP 相似，只要使夹ABP 及CBF 的两边对应成比例解 如图 133图 133ABBC，PBBF，ABP CBF当 ，即 ，BM 13 时，CBM 1ABP相似比 k1ABCPM1314当 即 时，CBM 2PBA相似比2 6,22BM34当 BM3 或 时，以点 B，M，C 为顶点的三角形与ABP 相似，相似比分316别为 1 和 4说明 (1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后 ”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应
7、成比例，由于点 C 可以与点 A 对应(此时点 M 与点 P 对应) ，点 C 也可以与点P 对应(此时点 M 与点 A 对应 )，因此有两种情形(2)注意当相似比 k1 时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例例 2 已知：如图 134，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE的中点，BR 分别交 AC，CD 于点 P，Q图 134(1)请写出图中各对相似三角形( 相似比为 1 的除外)；(2)求 BPPQQR 的值解 (1)BCP BER，PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ (2)四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， BCA
8、D CE ，ACDE21,REPCB又PCDR，PCQRDQ点 R 是 DE 中点， DR REQR2PQ ,1DQ4又BPPRPQQR3PQ，BPPQ QR312说明 (1)如图 135， “若 DEBC，则ADEABC” 这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构图 135(2)对于例 2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若PCQ 的面积为 S，你能用含 S 的代数式分别表示图 134 中其他各图形的面积吗?并说明你的理由(1)BPC 的面积 _理由是_；(2)ABP 的面积_理由是 _；(3)四边形 PCER 的面积_理由是_；(4)
9、四边形 APRD 的面积_理由是_ ；例 3 如图 136，等腰梯形 ABCD 中，AD BC ，AD 3，BC 7，B 60，P 为下底 BC 上一点(不与 B，C 重合 )，连接 AP，过 P 点作 PE 交 DC 于 E，使得APE B 图 136(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么?(2)当点 P 在底边 BC 上自点 B 向 C 移动的过程中，是否存在一点 P，使得DEEC 53? 如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由解 (1)ABP PCE其理由是除BC 外，由于APEB60，APC B BAPAPE CPE，BAPCPE 由“两角对应相等，两三角形相似”可得ABP
10、PCE (2)作 DFBC 于 F，由已知可得 CF ，腰长 ABCD2CF4，这样2AD原问题转化为在底边 BC 上是否存在一点 P，使得 CE1 .5假设存在 P 点，使 CE1.5，由ABP PCE，得 ，可得PCBEBPPCAB CE6设 BPx，BCBPPC7，PC7xx(7 x)6，即 x27x60解得 x11，x 26答 当 BP1 或 BP6 时，使得 DEEC535例 4 如图 137，正方形 ABCD 的边长为 4，M ，N 分别是 BC，CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直图 137(1)求证：RtABMRtMCN；(2)设 BMx
11、，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积；(3)当 M 点运动到什么位置时，Rt ABMRtAMN，并求 x 的值解 (1)在正方形 ABCD 中，ABBC CD 4，BC90AMMN，AMN90 CMNAMB 90在 Rt ABM 中， MABAMB90，MAB CMNRtABMRtMCN(2)RtABMRtMCN ，即CNBMACNx42x)4(12xSyABCN形 .10)821x当 x2 时，y 取最大值，最大值为 10(3)BAMN90，要使ABM AMN，只需 BMAN由(1)知 MC
12、ANBMMC 当点 M 运动到 BC 的中点时，ABMAMN ，此时 x2例 5 如图 138，在正方形 ABCD 中，AD12，点 E 是边 CD 上的动点( 点 E 不与端点 C，D 重合)，AE 的垂直平分线 FP 分别交 AD，AE，BC 于点 F，H，G，交 AB 的延长线于点 P6图 138(1)设 DEm(0m12)，试用含 m 的代数式表示 的值；HGF(2)在(1)的条件下，当 时，求 BP 的长21HGF解 (1)如图 139，过点 H 作 MNAB，分别交 AD，BC 于 M，N 点在正方形ABCD 中，图 139ADBC，FMHGNHHNMGFFH 垂直平分 AF，在A
13、DE 中，H 是 AE 的中点又MH DE ， M 是 AD 的中点.21xDE由已知，不难得出四边形 ABNM 是矩形MNABAD12 .21xHN,241mMGF其中 0m12(2)当 时， ，解得 m82H24欲求 BP 的长，只要求 AP 的长在 Rt ADE 中，AD12，DE8， EADAEsin,13, 13FPAE 于点 H，DAP90，PEAD 7在 Rt APH 中， ,13sinPAHBPAPAB13121说明 (1)在解第(1)小题时，过点 H 作 MNAB ，分别交 AD，BC 于 M，N 点，是解题的关键，这条辅助线将用含 m 的代数式表示 的问题，转化为用含 m
14、的代数式表示GF，起到化难为易的作用HNM(2)在解第(2)小题的过程中，利用锐角三角函数求 AP 的长，使几何计算过程简化，要重视用解直角三角形的方法解决几何计算问题三、课标下新题展示例 6 (2008 温州市)已知：如图 1310，点 A1，A 2，A 3，A 4 在射线 OA 上，点B1，B 2，B 3 在射线 OB 上，且 A1B1A 2B2A 3B3，A 2B1A 3B2A 4B3若A 2B1B2，A3B2B3 的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为_图 1310解 由 A2B1A 3B2，A 2B2A 3B3，可得A 2B1B2A 3B2B3323)()(4321S3
15、231BA.2413232 S由 A2B1A 3B2，A 1B1A 2B2，可得A 1B1A2A 2B2A34)(2332.S2113221ABAB同理， 84323S图中三个阴影三角形的面积之和82 210例 7 (2008 烟台市 )已知：如图 1311，在 RtABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形，则 a，b，c 满足的关系式是( )8图 1311Abac BbacC b2a 2c 2 Db2a2c解 选 A提示 如图 1312，易知1290，2390，3490，13，即1 十490图 1312FDE490，FDE1DEF HGM GMEFHD而 EFba，DE a，HGbc
16、，GMc，即 得 ac( ba)(bc) ,c整理可知 b(ac)b 2，而 b 0，ac b例 8 (2008 哈尔滨市)已知菱形 ABCD 的边长是 6，点 E 在直线 AD 上，DE 3，连接BE，与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是_AC解 32提示 注意题中给出的“点 E 在直线 AD 上”这个条件，因此有两种情况(1)点 E 在线段 AD 上时，如图 1313(a)，CBMAEM ；(2)2AEBCM点 E 在 AD 的延长线上时，如图 1313( b)，CMBAME， 3图 1313四、课标考试达标题(一)选择题1如图 1314，ABCD，AEFD，AE，FD 分别交 BC
17、于点 G，H，则图中共有相似三角形( )9图 1314A4 对 B5 对C 6 对 D7 对2如图 1315 所示，小刚身高 AB 为 1.7m，测得他站立在阳光下的影子 AC 长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子 AD 长为 1.1m，那么小刚举起的手臂 BE超出头顶( )图 1315A0.5m B0.55mC 0.6m D2.2m3如图 1316，在ABC 中，ABAC ，过 AC 边上一点 D 作直线与 AB 相交，使得构成的新三角形与ABC 相似，这样的直线共有( )图 1316A1 条 B2 条C 3 条 D4 条4如图 1317，王华同学晚上由路灯 A 下的 B 处走到
18、 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，他继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 等于( )图 1317A4.5 米 B6 米C 7.2 米 D8 米5如图 1318，在 88 正方形的网格上，若使ABCPBD，则点 P 应在( )10图 1318AP 1 处 BP 2 处C P3 处 DP 4 处6如图 1319，把PQR 沿着 PQ 的方向平移到P QR的位置，它们重叠部分的面积是PQR 面积的一半，若 PQ ，则此三角形移动的距离 PP是( )图 1319A B C1 D212 12(二)填空题7已知：如图 1320，在ABC 中，AD DB12，DE BC 交 AC 于 E，若ABC 的面积等于 81，则四边形 BCED 的面积为_图 13208如图 1321，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，点 G，H 在 DC 边上，BC12，GH 若 AB10，则图中阴影部分的面积为 _.21DC图 13219如 图 13 22， ABC 与 A B C 的 位 似 中 心 为 点 O， 若 AB 2， A B 5，则 ABC 与AB C 的面积比是_，AC 与 A C的比是_
