1、12.3.1 等比数列学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念；2.探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3.会解决关于等比数列的简单问题。学习过程 一、课前准备1.等差数列是怎样定义的？其通项公式怎样？2.等差数列具有哪些性质？二、新课导学 探索新知探究 1：中国古代数学是数学史上的一颗明珠，下面我们来看几个中国古代数学问题：1、 孙子算经 中载有著名问题： “今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各有几何？2、庄子天下篇：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 3、 算法统宗中有这样一
2、题:“一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？它们的共同特点是 新知 1：等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。q即：若 ，则称数列 为 ， 为 ，且 。为 常 数nqa,21 naqq试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。(1) 1，3，9，27，81，243，(2) 1,1,1,1,. (3) a, a, a, a,(4) 1, 6, 36, 0,(5) ，3，6，12 232n例 1已知数列a n的通项公式为 an=32n，试问这个数列是等比数列吗？探究 2：设 a1，a 2，a 3是公比为 q 的等比数列，结
3、合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项2公式？新知 2：等比数列的通项公式为： 。注：公比 q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负 数。当首 项等于 0 时，数列的项都是 0；当公比为 0 时，数列的项也都是 0；所以首项和公比都不可以是 0。当公比 q=1 时，数列是怎么样的？若首 项为正，当公比 q 大于 1，公比 q 小于 1 时数列的增减性分 别如何？例 2、在等比数列 中，na（1）已知 求 ；,2,316（2）已知 ，求06na新知 3：等比中项若 成等比数列，则 ；其中 叫做 与 的 。此时 与 （填同号bGa, Gabab或异号） 。易看出，一个等比数列从第
4、二项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）是它的前一项与后一项的 。例 3：若 成等比数列，求实数 的值。3,2,aa新知 4：等比数列的单调性首项为正数的等比数列的公比 时，数列为 数列；当 时，数列为 数列；当1q 0q时，数列为 数列；当 时，数列为 数列。10q思考：如何证明一个数列是等比数列？新知 5：等比数列的常见性质：若数列 为等比数列，且公比为 ，则此数列具有以下性质：naq ；mq对任意正整数 ，满足 ，则 ；特别的，当 p+q=2r，则 apaq=ar2；srp, srpsrqpaaa n，a n+m，a n+2m，组成公比为 qm 的等比数；若数列 是等比数列， 是其前 n
5、 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。nS*NkkSk2kS23如下图所示：3 k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S321 例 4：在等比数列a n中，a 3=20 ,q=2 ,求 a6 ,an例 5：已知数列 满足 ,试用定义证明 是等比数列。n5lgn na学习评价 当堂检测：1.数列 1，3 7，3 14，3 21，中，3 98 是这个数列的（ ）A. 第 13 项 B. 第 14 项 C. 第 15 项 D. 不在此数列中2.若 x, 2x+2, 3x+3 是一个等比数列的连续三项，则 x 的值为（ ）A.4 B.1 C. 1 或 4 D.1 或43.在各项均为正数
6、的等比数列 中，若 ，则 等于（ ）na9651032313logllogaaA、12 B、10 C、8 D、 l234. 和 的等比中项是 （ ）32A. 1 B. C. D. 215.在 3 和 9 之间插入两个正数，使前 3 个数成等比数列，后 3 个数成等差数列，则这两个正数之和为 （ ）A. B. C. D. 2745476.在正项等比数列 中， 是方程 的两个根，na91, 0162x则 的值为 （ ）6054aA. 32 B. 256 C. D. 64647.若 成等差数列，而 和 都分别成等比数列，则 的值为（ ）cb, cba,12,bA16 B15 C14 D128.在等比
7、数列 中，已知 ，则 = （ ）n 30,41515a3A. 8 B. 8 C. D. 1689.已知等差数列 的前 4 项和为 10，且 成等比数列，na732,求数列 的通项公式。4等差数列 等比数列定义通项公式中项性质1、设 成等比数列，其公比为 2，则 的值为 （ ）432,a4321aA. B. C. D. 14182、某种细胞每隔 20 分钟分裂一次，1 个分裂成 2 个，则 1 个这样的细胞经过 3 小时 20 分钟后，可得到的细胞个数为 （ ）A. 512 B. 1024 C. 511 D. 10233、如 成等比数列，那么 （ ）9,cbaA. B. C. D. ,9,3ac
8、9,3acb9,3acb4、若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为 （ ）812A. 3 B. 4 C. 5 D. 66、在等比数列 中， 和 是二次方程 的两个根，则 （ ）na35a052kx642aA. 25 B. C. D. 7、已知 是一个等比数列的前 3 项，则第 4 项为 。,2,x8、已知等比数列 ，若 ， ，求 。na721a821an9、已知点 在函数 的图象上，其中1(,)n2()fx1,23证明：数列 是等比数列。lga5参考答案：当堂检测例 2（1） ；（2） ，解得 ，所以 。96)(316a1602563qa2,51qa125nnaCBC B D D A 9.解：设数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，则 ，n1ad432131d由于 成等比数列，所以 ， 化简得732,a723021da所以 解得 或0521d51d1所以数列 的通项公式为 或 。na2na53n课后作业1、 A 2、 B 3、 B 4、 B 5、 D 6、 77、 或1na12n8、证明：由已知可得 ，*1Nann21an12112 lglglgl nnn a，对 恒成立，故数列 是以 2 为公比的等比数列1lnal()n
