1、数学建模案例分析 1双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为 的玻璃夹着一层厚度为 的空气，如左图所示，据说这样做是dl为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为 ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多d2少热量损失给出定量分析结果.一、 模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2. 室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程已处于稳定1T2T状态，即沿热传导方向，单位时间通过
2、单位面积的热量是常数；3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数.数学建模案例分析 2二、 符号说明室内温度1T室外温度2单层玻璃厚度d两层玻璃之间的空气厚度l内层玻璃的外侧温度aT外层玻璃的内侧温度b热传导系数k热量损失Q三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度dT高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 ，与 成正比，QT与 成反比，即（1）dTkQ其中 为热传导系数.k1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 ，外层玻璃的内侧温度为 ，aTbT玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ，由（
3、1）式单位1k2k时间单位面积的热量传导（热量流失）为：（2）dkTdkQbaa 2121 由 及 可得T1kb1 121)(kQdTba数学建模案例分析 3再代入 就将（2）中 、 消去，变形可得：dTkQba2 aTb（3）dlhkss , ,)(2112. 单层玻璃的热量流失对于厚度为 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d2（4）TkQ213. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3） （4）有： （5）2sQ显然， .Q为了获得更具体的结果，我们需要 的数据，从有关资料可21,k知，不流通、干燥空气的热传导系数 （J/cm.s.C ） ，常405.用玻璃的热传导系数 （J/cm
4、.s.C ） ，于是331804k262在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取 ，由（3） （5）可得：12k（6）dlhQ 84. 模型讨论比值 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与有关，下图给出了 的曲线，当 由 0 增加时， 迅dlhhhQ速下降，而当 超过一定值（比如 ）后 下降缓慢，可见h4Q不宜选得过大.数学建模案例分析 4四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求 .按照这个模型， ，即双层玻璃窗比4dlh %3Q用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 ，2k而这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.
