1、2018/9/21,第七章,1,第七章 平面电磁波,电磁波：时变电磁场在媒质中以速度,向远处传播。,2018/9/21,第七章,2,7.1 波动方程,一、非齐次波动方程：,在均匀、线性、各向同性媒质中，由麦氏方程导出：,(7-1-1),其中, 一般情况下,有三个分量,且每个分量都可以是三维坐标变量 及时间 t 的函数. 即,2018/9/21,第七章,3,二、齐次波动方程：,若考虑无源理想介质-自由空间,则,(7-1-2),其中:,5,8,2018/9/21,第七章,4,三、齐次亥姆霍兹方程,若时变电磁场为时谐 (变)电磁场：则,简记为:,同理:,复有效值矢量,2018/9/21,第七章,5,
2、则齐次波动方程的场量以复数形式代入时为:,(7-1-3),其中:,时间变量已消去.,3,时谐场齐次波动方程,2018/9/21,第七章,6,7.2 理想介质中的均匀平面波,一、理想介质中的均匀平面波：,1、均匀平面波： 波前平面场量振幅处处相等。,电、磁,2、沿 轴方向传播的均匀平面波：,2018/9/21,第七章,7, 均匀平面波波前平面场量振幅处处相等。,故均匀平面波场量只是一维坐标变量 与时间 的函数。即,(7-2-1),9,2018/9/21,第七章,8,3、均匀平面波（ 方向传播）的齐次波动方程：,(7-2-2),其中：,3,三个标量方程,11,2018/9/21,第七章,9,4、
3、并非完全相互独立：,将(7-2-1)代入麦氏第一方程:,即得:,亦即:,7,2018/9/21,第七章,10,同理:将(7-2-1)代入麦氏第二方程:得,4,5,6,分析:,其物理意义为：电场、磁场均无平行传播方向的分量。,13,纵向,横电磁波,2018/9/21,第七章,11,则齐次波动方程（7-2-2）为：,(7-2-3),9,沿 方向传播的均匀平面波,电场只有 分量，磁场只有 分量。,8,为电磁波动的速度,15,2018/9/21,第七章,12,齐次波动方程解的形式：,物理意义：,滞后位,超前位,凡是能向前传播的波都为行波。,2018/9/21,第七章,13,之间的关系：,10,对无界空
4、间,即：,则：,2018/9/21,第七章,14,(7-2-4),：称媒质的（本征）波阻抗。( ),对理想介质： 为一实常数。,对真空（空气）：,同理：,物理意义：,电磁波在传播过程中，遇到不同媒质的分界面时，其反射波会改变相位。,X方向的电场反射波要与负y方向的磁场反射波才能组成一组向负z方向传播的电磁波。,2018/9/21,第七章,15,二、时谐变场的均匀平面波：,1、设,则齐次波动方程（7-2-3)的复数形式为:,(7-2-3),瞬时值,复数表示式,11,2018/9/21,第七章,16,即:,(7-2-3),令,实数,则:,(7-2-4),其中:,为传播常数;,为相位常数.,43,2
5、018/9/21,第七章,17,2、齐次波动方程的解：,即：,(7-2-6),且:,同理：,28,2018/9/21,第七章,18,3、电磁场量的瞬时值：,物理意义：电场和磁场的振幅为常数，相位相等。且：,2018/9/21,第七章,19,4、相速度 ：,等相位面移动的速度：,即,5、相波长 ：,电磁波在一周期T内传播过的距离。,2018/9/21,第七章,20,三、理想介质中均匀平面波的特性：,以 z 轴方向传播的波为例,1、均匀平面波为横电磁波TEM波。,且,2、 与 、 与 可单独存在。,3、入射波沿 轴方向以速度 传播。 反射波沿 轴方向以速度 传播。,入、反射波,2018/9/21,
6、第七章,21,若电磁场为时间的任意函数：则,若为时谐电磁场时，则：,4、坡印亭矢量：,且,真空,2018/9/21,第七章,22,设,则,故,2018/9/21,第七章,23,6、能流密度平均值 ：,设,而,2018/9/21,第七章,24,故,在垂直传播方向的所有平面上，每单位面积穿过的功率相等。,2018/9/21,第七章,25,例：已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为：,求： （1）频率f 、波长 、相速 及相位常数 ；（2）电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；（3）能流密度矢量瞬时值及平均值。,解：,为均匀平面波，且沿正z 方向传播。,且电场强度的瞬时值为复数的虚部，正弦
7、变化 。,（1）：由瞬时值表达式知：,30,2018/9/21,第七章,26,则：,先求,故,（2）：,2018/9/21,第七章,27,即,复振幅,复有效值,由于电场（x)、磁场、传播方向(z)符合右手螺旋定则：故磁场为 方向。,2018/9/21,第七章,28,17,由于,故：,磁场强度的复数表达式,则,瞬时值表达式,2018/9/21,第七章,29,（3）：,25,能流密度瞬时值,2018/9/21,第七章,30,而,即,能流密度平均值,2018/9/21,第七章,31,7.3 平面波的极化,一、均匀平面波的极化：（沿z 轴传播）,1、,设,(7-3-1),即 在不同时刻,(当 固定时)
8、,其方向可能是变化的.,如 z=0,34,41,33,2018/9/21,第七章,32,2、极化：,用空间任一点 z 的合成矢量的末端点随时间 t 变化的轨迹来描述。,如 z=0,3、极化的方式：,直线、圆、椭圆。,二、直线极化：,2、设 z=0 时 ,2018/9/21,第七章,33,的幅值为：,与 轴的夹角,不变,在与 轴成夹角为 的直线上直线极化。,31,2018/9/21,第七章,34,三、圆极化：,2、证明：,考虑 z=0的 xoy 平面，由(7-3-1),令,则,的幅度为:,不变,31,2018/9/21,第七章,35,圆方程,与 轴的夹角,、令,圆方程,2018/9/21,第七章
9、,36,右旋、左旋圆极化波：,左旋圆极化波,右旋圆极化波,41,2018/9/21,第七章,37,四、椭圆极化：,2、证明：,令,任意,故,椭圆方程,z=0时， 的末端点（ ）随时间 t 变化的运动轨迹是一椭圆。,(7-3-2),2018/9/21,第七章,38,3、讨论：,、 或 时，(7-3-2)变为:,直线方程,、 (7-3-2)变为:,圆方程,(7-3-2)变为:,正椭圆方程,见书面，图- a,b,见书面，图- c,d,见书面，图- e,2018/9/21,第七章,39,、 任意，,(7-3-2) 为最普通的椭圆方程:,其长轴与 轴的夹角为：,4、左旋、右旋椭圆极化波：,、 固定， ，
10、 变化：, ，右旋。, ，左旋。, ，右旋。,、 固定， ， 变化：,见书面，图- f,2018/9/21,第七章,40,例：将 方向的直线极化波,分解为两个振幅相等但旋转方向相反的圆极化波的叠加形式。,解：圆极化波的定义：,设,2018/9/21,第七章,41,则,而,右旋,左旋,31,36,分解完毕,2018/9/21,第七章,42,7.4 导电媒质中的均匀平面波,一、导电媒质中均匀平面波的场方程：,、麦氏方程的微分形式：,导电媒质，其,(7-4-1),其中,复数,麦氏第一方程,麦氏方程组,2018/9/21,第七章,43,、导电媒质中的波动方程：,设电磁波沿 方向传播，,则,(7-4-)
11、,其中传播常数,(7-4-),rad/m,Nb/m,波动方程,16,47,52,2018/9/21,第七章,44,3、波动方程的解：,其中,即,有效值，,则,设,(7-4-),(7-4-),复数,2018/9/21,第七章,45,、瞬时值： （入射波）,则瞬时值取实部，得,2018/9/21,第七章,46,而,(7-4-),由此可见，电场、磁场的振幅随 的增加将按指数规律 衰减。,2018/9/21,第七章,47,、相速度 ：,(7-4-),(7-4-),电磁波在导电媒质中传播时，其相速度将变慢。,43,2018/9/21,第七章,48,、相波长 ：,(7-4-),电磁波在导电媒质中传播时，其
12、相波长将变短。,二、导电媒质中均匀平面波的特性（沿 z 方向）：,、导电媒质中的均匀平面波仍是波。,其中 与 、 与 可单独满足麦氏方程组。,2018/9/21,第七章,49,、,色散波。,、,设电磁波传播方向为 ，则,为复数。,2018/9/21,第七章,50,(7-4-),则能流密度平均值为：,(7-4-),2018/9/21,第七章,51,三、低损耗媒质和良导电媒质：,时， ，理想介质。, 时， 良导电媒质。,对同一种媒质而言，当 不同时，其导电能力 将会不同。,2018/9/21,第七章,52,低损耗媒质：, ，设 ，设 时。,由公式(-)、(-)得:,2018/9/21,第七章,54
13、,表面电阻 表面电抗.,上式表明,电场与磁场相位差为 .,其振幅按 衰减.,越高, 越大, 则 越大, 衰减越快.,2018/9/21,第七章,55,趋肤效应:,良导体, ,对电磁波(微波)而言,则 很大,即电磁波,进入良导体后,很快就衰减完毕.亦即良导体中的电磁波只能存在于表面很薄的一层中-趋肤效应.,趋肤深(程)度 :,电磁波的强度衰减到表面值的 时所经过的距离为 .,2018/9/21,第七章,56,屏蔽:,2018/9/21,第七章,57,. 平面边界上均匀平面波的垂直入射,一、入射波、反射波、折射波：,且 沿z 轴方向传播。,2018/9/21,第七章,58,媒质中的入射波为 ，反射
14、波为 ；媒质 中的折射波为 。,则,即,故,同理,2018/9/21,第七章,59,而,则,同理,2018/9/21,第七章,60,媒质 、 中的总电磁场：,(-),(-),63,64,2018/9/21,第七章,61,分界面上的边界条件:,分界面为理想介质( ),则分界面的边界条件为:,令 ,将(-)、（）代入上式，即,：入射波（已知）,反射波,折射波,2018/9/21,第七章,62,则,且,反射系数,折射系数,(-),(-),(-),2018/9/21,第七章,63,二、全反射及驻波：,理想介质,理想导体,边界条件：,有限,(-),由第一式，将（）令 代入,则,60,2018/9/21,
15、第七章,64,全反射：,驻波： （瞬时值）,驻波： 将（-）重写,无折射波。,60,2018/9/21,第七章,65,则,即,同理,(-7),故,(-8),当,电场为零,磁场为零,波节点,负号是因为 z 0.,2018/9/21,第七章,66,电场为最大,磁场为最大,波腹点,说明电磁场的波(腹)节点不会因时间的变化而变化,其波(腹)节点就像立在那儿一样,这样的电磁波称驻波.,驻波无能量传输:,能流密度,而电场的波节为磁场的波腹,故在电磁场的波腹(节)处,其能流密度为零.,能量不能传输.,2018/9/21,第七章,67,三、均匀平面波对多层介质分界面的垂直入射：,1、总场波阻抗 ：（输入波阻抗
16、）,定义,z 0 的媒质 中：,媒质 中，由任意点 向 方向看进去时，媒质都是均匀的、无限大的（无界），只有折射波（行波）。且总场波阻抗等于媒质的本征波阻抗。,(-9),(-10),2018/9/21,第七章,68,z 0 的媒质 中：,即,(-11),其中,为 z =0 分界面上的反射系数。,2018/9/21,第七章,69,故,(-12),当 已知时，任意 处的输入波阻抗可求。, 时,则 .,当 时, .,由(7-7-5)式,即,（7-7-6）,则,（7-7-7）,临界角,2018/9/21,第七章,88,二、均匀平面波对理想介质的斜入射：,垂直极化波的斜入射：,设入射面为,根据 确定 的
17、方向.如图,2018/9/21,第七章,89,边界 ,电场、磁场切向分量连续。,则,方向,方向,而,2018/9/21,第七章,90,当 时，,且,折射系数,则,（7-7-8）,反射系数,2018/9/21,第七章,91,2、平行极化波的斜入射：,，分界面；,，入射面；,2018/9/21,第七章,92,边界条件：,，分界面上， 切向分量相等。,方向,方向,则,（7-7-11）,（7-7-10）,2018/9/21,第七章,93,当 时，,（7-7-12）,分析上式：当 时， 无反射波；,但 垂直极化反射波仍然存在。,2018/9/21,第七章,94,的 称为布儒斯特角 。,将 代入折射定律：
18、,则,当 时，,（7-7-14）,（7-7-13）,布儒斯特角,2018/9/21,第七章,95,三、均匀平面波对理想导体平面的斜入射：,为分界面；,为入射面；,如图所示，设 沿 方向，为垂直极化波。,有限，则,2018/9/21,第七章,96,入射波、反射波电场：,其中,（7-7-16）,（7-7-15）,98,2018/9/21,第七章,97,边界条件： 电场切向分量为零,则,即,故,电场切向分量连续,2018/9/21,第七章,98,媒质中的合成电场：,而,即,（7-7-17）,96,2018/9/21,第七章,99,瞬时值：,即,分析瞬时值与 的关系：,当,即 时， 波节点位置不变。,
19、波节点是变化的,2018/9/21,第七章,100,的等相位面： 时间 固定。,（常数）,即,（常数）,（常数）,（常数）,即等相位面与等幅值面互相垂直。此种波称为非均匀平面波。,波前平面（等相位面）场量振幅处处相等,2018/9/21,第七章,101,7.8 相速与群速,一、相速 ：,等相位面传播的速度。,设,令,即,理想介质： 相速与频率无关。,导电媒质：,相速与频率有关,无色散波,有色散波,103,2018/9/21,第七章,102,二、群速 ：,因单一频率的正弦波是不能传带任何信息的。故携带信息的电磁波必是由许多频率组成的电磁波群。,而在色散媒质中，不同频率的电磁波，其相速度是不同的，所以说相速度是不能用来描述电磁波的传播速度的。故引入群速度。,那么什么是群速度呢？群速度即是一群电磁波传播的速度，它指信号传播的速度，即能量传播的速度。,2018/9/21,第七章,103,现以两个频率的电磁波为例来讨论：,设,合成波,振幅：包络,包络移动的速度为群速度。,令,101,
