1、1梯形中的辅助线常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为和 ;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为 和.基本图形如下:21.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形【例 1】已知：如图 2,在梯形 ABCD 中, .求证：.分析:平移一腰 BC 到 DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即 AB=2CD.证明：过
2、D 作 ,交 AB 于 E. AB 平行于 CD,且 ,四边形 是菱形. 又 为等边三角形. 又 , .【例 2】如图,在梯形 ABCD 中,ADBC , E、F 分别是 AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求 EF 分析：由条件 ,我们通过平移 AB 、DC ；构造直角三角形 MEN ,使 EF 恰好是MEN 的中线解：过 E 作 EMAB ,EN DC ,分别交 BC 于 M 、N , , 是直角三角形, , , . 、 分别是 、 的中点,3 为 的中点, . 2.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形然后利用构造的直角三角形和矩形解决
3、问题【例 3】.如图,在梯形 中, .求证： .分析:过上底向下底作两高,构造 Rt,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过 D、C、作 AB 的垂线,垂足分别为 E、F. , .又 , .3.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决【例 4】.如图,等腰梯形 中, , ,且 , 是高,是中位线,求证： 分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证过 点作 ,交 的延长线于 ,就可以把 、和 移到三角形 中,再证明等式成立就简单多了证明：过 点作 交 的延长线于点 ,则四边形 是平行
4、四边形 , 四边形 是等腰梯形, , 4又 , , , . , 又 , . 【例 5】.已知：如图,在梯形 中, .求证：梯形 是等腰梯形.证明：过 D 作 ,交 BA 延长线于 E.则四边形 是平行四边形. . 又 , 于是,可得 梯形 ABCD 是等腰梯形.4.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题 【例 6】.已知：如图 4,在梯形 中, 是 的中点,且 .求证：.证明：取 的中点 F,连结 FE.则 , . . 【例 7】.已知：梯形 A
5、BCD 中 AD BC,E 为 AB 中点,且 ADBC=DC , 求证：DEEC,DE 平分 ADC,CE 平分 BCD 5证法 1：取 DC 中点 F,连结 EF,E 为 AD 中点,则 EF 为梯形的中位线 EFADBC EF= (ADBC) 1=5,3=6 DC=ADBC EF= DC=DF=CF 1=2,3=4 2=5,4=6 13 24=180 13=90 DEC,DE 平分 ADC,CE 平分 CD 证法 2：延长 CE 与 DA 延长线交于一点 F,过程略证法 3：在 DC 上截取 DF=AD,连结 AF、BF、EF 解决.5.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特
6、题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转 、利用一腰中点旋转 、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例 8】.已知：如图 5,在梯形 ABCD 中, M、N 分别是 BD 、AC 的中点.求证： .证明：连结并延长 ，交 于 E.则 . 又 N 是 AC 的中点, ,6故 说明：在图 5 中, 相当于由 绕点 E 旋转 得到；在图 6 中, 是由 绕点 E 旋转 得到.取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形【例 9】.如图,梯形 中, , 、 分别平分 和 , 为中点,求证： 分析：要证明 ,可以利用 为 中点,延
7、长 与 的延长线交于 , ,得到 ,再证明即可证明：延长 、 交于点 F,显然 , . 又 , , , 是线段 的垂直平分线 , . 评注：添加辅助线后,沟通了 、 与 的联系,由线段垂直平分线性质得出,从而问题获得解决利用一腰中点旋转 7【例 10】.已知：如图,在梯形 中, 是 CD 的中点.求证： . 证明：延长 AE、BC 相交于点 F.易证 . , , 即 .BE 是等腰 底边上的高. .【例 11】.如图,梯形 中, , 为腰 的中点,求证：.分析： 与梯形 ABCD 的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图 7 的平行四边形,它们之间的关系就清晰了梯形补成平行四边形,各种
8、关系明显、直观,解题思路清晰证明：延长 ,使 ,延长 ,使 ；则 ,则四边形是平行四边形 为 的中点,连结 , 与 交于点 .连结、 ,则 . , 是 中点,8 为 中点且是 中点四边形 是平行四边形, , 巩固习题1.等腰梯形的腰长为 5 cm，上、下底的长分别为 6 cm 和 12 cm，则它的面积为_.2.在梯形 ABCD 中，ADBC,B=90，C=45，CD =10 cm，BC =2AD，则梯形的面积为_.3.梯形的上底长为 5 cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为 20 cm，那么梯形的周长为_.4.在梯形 ABCD 中，ADBC，B=50，C
9、=80，AD=8，BC=11，则CD=_.5、 如图 2，等腰等形 ABCD 中，ADBC，AD=5， B=60，BC=8，且 ABDE，DEC的周长是9A DB CE6.在梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD ，若 AD=2，BC=8，BD=6，求：（1）对角线AC 的长；（2）梯形 ABCD 的面积.7.已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2，BD=6，AC=BC=8。（1）请判断对角线 AC 与 BD 的位置关系，说明理由。（2）求出梯形 ABCD 的高线 DE 的长。8.如图，已知等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10,DEBC 于 E.求等腰梯形ABCD 的面积。 （8 分）AB CD
