1、正多边形的镶嵌规律(学生小论文)(2009-04-27 22:10:48) 转载标签： 杂谈分类：学生作品鹿城区临江中学 程健力学习了美妙的镶嵌，我知道镶嵌的两个基本特征：(1)拼接点处的各个角之和等于 360 度.(2)拼接边相等.课后老师布置了作业请同学们设计一个镶嵌图形.这是一个非常好的作业，老师没有规定用什么图形进行镶嵌，可以任意选择图形.于是课堂上老师给我们展示了许多美丽的镶嵌图形，便浮现在我的脑海中.这些镶嵌图形，有的是单一多边形进行镶嵌，也有的几种多边形进行镶嵌；有的是一般多边形进行镶嵌，有的是正多边形进行镶嵌.到底是怎样的正多边形可以进行镶嵌呢？一、探索单种正多边形镶嵌问题.能
2、够镶嵌的条件之一是，拼接点处的几个角的和为 360。用单一正多边形进行镶嵌，就是要求几个正多边形的内角的和为 360.如下表：通过上表，我发现：要使正多边形能够进行镶嵌， 必须是整数.而且我们说几个多边形能够镶嵌，当然是至少有 3 个多边形进行镶嵌，3 个以下是不可能的.因为，多边形(这里一般是指凸多边形)的内角都是锐角，小于 180 度.于是： 3两边同时乘以 n-2(n2，n-20) 得，2n3(n-2)解得，n6这样看来，表格中六边形以上的多边形是不可能进行单独镶嵌的，而能够进行单独镶嵌的多边形只有三种：(1)6 个正三角形；(2)4 个正四边形；(3)3 个正六边形.二、探索两种正多边
3、形镶嵌问题.镶嵌的关键是内角的度数，所以对正多边形的内角度数必须要有所了解.为了弄清 n取何值时中是整数，我在 Excel 中输入公式，输出 60 度到 179 度之间的正多边形内角度数，结果表示如左表，取其中内角度数是整数的多边形内角度数，结果表示成右表：由表格可知中，当 n 是3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，时，是整数，共 22 个.在上述的 22 种正多边形中可以两个组合进行镶嵌,共有以下几种:(1)正三角形与三边以上的正多边形镶嵌.160+1300；160+2150；1 个正三角形，2 个正
4、12 边形.()260+1240；260+2120；2 个正三角形，2 个正 6 边形.()360+1180；360+290； 3 个正三角形，2 个正 4 边形.()460+1120；460+1120；4 个正三角形，1 个正 6 边形.()560+130；(小于 60 度舍去)(2)正四边形与四边以上的正多边形镶嵌.190+1270；190+2135；1 个正四边形，2 个正 8 边形.()290+1180；290+290；(等于 90 度舍去)(3)正五边形与五边以上的正多边形镶嵌.1108+1252；1108+2126；1108+384；(小于 108 度舍去)2108+1144；21
5、08+1144；2 个正五边形，1 个正 10 边形.()3108+136；(小于 108 度舍去)(4)正六边形与六边以上的正多边形镶嵌.1120+1240；1120+2120；(等于 120 度舍去)设六边以上的正多边形的内角是 x(x120),所要镶嵌的图形共有 n 个(n3)则:由 120+(n-1)x=360 得,n=240/x+1再由 n3 得, 240/x+13,解得 x120显然,对于六边以上的正多边形是无法用 2 种图形进行镶嵌.因此，两种正多边形进行镶嵌只有六种：(1)1 个正三角形，2 个正 12 边形；(2)2 个正三角形，2 个正 6 边形；(3)3 个正三角形，2
6、个正 4 边形；(4)4 个正三角形，1 个正 6 边形；(5)1 个正四边形，2 个正 8 边形；(6)2 个正五边形，1 个正 10 边形.三、探索三种正多边形镶嵌问题.根据探索二的结论，可以将探索二中的正多边形分成两个不相同的正多边形，组成三种正多边形的镶嵌.由探索二中的(1)变化出如下:(1)160+2150160+290+11201 个正三角形,2 个正 4 边形,1 个正 6 边形；(2)160+2150160+1135+11651 个正三角形,1 个正 8 边形,1 个正 24 边形；(3)160+2150160+1140+11601 个正三角形,1 个正 9 边形,1 个正 1
7、8 边形；(4)160+2150160+1144+11561 个正三角形,1 个正 10 边形,1 个正 25 边形.由探索二中的(2)变化出如下:(1)260+2120260+190+11502 个正三角形,1 个正 4 边形,1 个正 12 边形.由探索二中的(3)(4)无法变化.由探索二中的(5)变化如下:(1)190+2135190+1108+11621 个正 4 边形,1 个正 4 边形,1 个正 20 边形；(2)190+2135190+1120+11501 个正 4 边形,1 个正 6 边形,1 个正 12 边形；由探索二中的(6)无法变化.因此, 三种正多边形进行镶嵌只有七种：
8、(1)1 个正三角形，2 个正 4 边形，1 个正 6 边形；(2)1 个正三角形，1 个正 8 边形，1 个正 24 边形；(3)1 个正三角形，1 个正 9 边形，1 个正 18 边形；(4)1 个正三角形，1 个正 10 边形，1 个正 25 边形；(5)2 个正三角形，1 个正 4 边形，1 个正 12 边形；(6)1 个正 4 边形，1 个正 4 边形，1 个正 20 边形；(7)1 个正 4 边形，1 个正 6 边形，1 个正 12 边形.四、探索四种或以上正多边形镶嵌问题.根据上面的方法，我突然想到是否还有四种正多边形进行镶嵌？或者说还有五种，甚至于六种呢？回答是否定的,因为正三
9、角形、正四边形、正五边形、正六边形中，四个图形的角之和为：60+90+108+120=378360。所以不可能镶嵌。五、未能完成的探索.当我为自己探索出 16 种正多边形的镶嵌而高兴时，我在网络上偶尔发现关于正多边形镶嵌的问题.网络却给我一个很大的打击：用正多边形进行镶嵌，有 17 种可能.而我却只能找出 16 种，我无法肯定按我的这种方法，是否会遗漏某种可能.网上介绍，这 17 种能镶嵌的正多边形情况，早在 1924 年，已被波尔亚发现.更为甚者在波尔亚之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止.17 种可能镶嵌的正多边形如下：在这里，我不得不承认古人的聪明，他们在 100 年前研究过的东西，我还是找不出来.我所探索的 16 种可能镶嵌的正多边形情形当中，还遗漏了内角度不是整数的一种情况：1 个正三角形，1 个正 7 边形，1 个正 42 边形.这是我事先所没有考虑到的.正 7 边形的内角是 900/7 度，正 42 边形的内角是 1200/7 度，它们的和正好是 300 度.探索永无止境，虽然我没有真正弄清正多边形的镶嵌问题，但是我所经历过探究过程，给我留下永久的记忆，我会继续努力
