1、多边形的内角和与外角和 一、内容综述：多边形（n 边形）：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。n 边形的内角和=(n-2)180。任意多边形的外角和都为 360（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；(2)凸多边形的内角 的范围：0180。二、例题分析：例 1、(1)22 边形的内角和
2、是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的 2 倍？(3)几边形的内角和是 2160？是否存在一个多边形内角和为 1000？(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2 倍，求边数分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）180=3600360022=（ ） 180-（ ）=（ ）（2）设 n 边形的内角和是八边形内角和的 2 倍则（n-2）180=2（8-2）180n=14（3）设 n 边形的内角和是 2160则（n-2）180=2160n=14设 n 边形内角和为 1000，则（n
3、-2）180=1000因为 n 不是整数，不符合题意。所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为 1000(4)因为一个多边形内角和等于外角和的 2 倍，所以：设边数为 n。根据题意得：（n-2）180=2360， n=6 例 2、(1)已知多边形的每个内角都是 135，求这个多边形的边数；(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的 9 倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是 135，所以它的每一个外角都是 45，36045=8，这个多边形是 8 边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为 x 则内
4、角为 9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+ 9x=180x=18因为多边形的外角和为 360，所以 36018=20，此多边形为 20 边形。例 3、 (1)某多边形除一个内角 外，其余内角的和是 2750求这个多边形的边数(2)已知 n 边形恰有四个内角是钝角这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角 的范围是：0180，所以设这个多边形的边数为 n，2750+0(n-2)1802750+180因为 n 为整数，所以 n=18。（2）解：因为 n 边形恰有四个内角是钝角，所以 n 边形恰有四个外角是锐角，由于 n 边形
5、个外角和是 360，所以外角中最多有 3 个钝角，若 n 边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；若 n 边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；若 n 边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形例 4、已知：四边形 ABCD 中(如图)，A 与B 互补，C=90，DEAB，E 为垂足若EDC=60，求B、A 及ADE 的度数 解：因 为，A+B=180，所以 ADBC所以C+ADC=180，因为C=90，所以ADC=90又因为EDC=60，所以ADE=30因为 DEAB，所以AED=90在ADE 中ADE=30，AED=90，所以A=
6、60因为，A+B=180，所以B=120例 5、已知多边形内角和与某一个外角之和为 1350，求这多边形的边数解：因为凸多边形的每一个外角 的范围也是：0180 所以设这个多边形的边数为 n，1350-180(n-2)1801350-0 因为 n 为整数，所以 n=9。 答：这多边形的边数为 9。例 6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的 4 倍还多 30，求这个多边形的内角和及对角线的总条数 解：解：设外角为 x 则内角为（4x+30） 因为每一个内角与它的外角互为邻补角 所以：x+(4x+30)=180x=30 因为多边形的外角和为 360，所以 36030=12 这个多边形的内角和为
7、（12-2）180=1800因为 12 边形从任意顶点出发均可以画出 9 条对角线所以对角线的总条数为： 912=54这个多边形的对角线的总条数为 12（12-3）=54 例 7、如 图，CDAF，CDE=BAF，ABBC，C=124,E=80,试求F 的度数. 解：连接 AD， 在四边形 ABCD 中，DAB+B+C+CDA=360因为 ABBC，所以B=90 又因为C=124，所以DAB+90+124+CDA=360，DAB+CDA=146 因为 CDAF，所以CDA=DAF （1） 又因为CDE=BAF，所以BAD=EDA (2) 由（1）,(2)得DAF+EDA=CDA+BAD=146
8、 （3） 在四边形 ADEF 中，DAF+EDA+F+E=360 （4） 将(3)代入（4）得 F+E=214 又因为E=80，所以F=134。例 8、如图，凸六边形 ABCDEF 的六个角都是 120角，边长为：AB=2cm，BC=8cm，CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长是多少？ 分析：应当充分利用“凸六边形 ABCDEF 的六个角都是 120”，可以得到重要结论：每个外角都是 60，从而想到可以得到特殊三角形：等边三角形！解:延长 AB,BA,CD,DC,EF,FE 分别交于 G,H,I 三点。 由凸六边形 ABCDEF 的六个角都是 120 得AGF, IBC, DEH,
9、 IGH 都是等边三角形 所以 BI=CI=BC=8cm，DH=EH=DE=6cm 故 GI=GH=IH(=IC+CD+DH)=25cmGF=AF=AG=IG-AB-BI=15cmEF=GH-GF-EH=4cm 六边形 ABCDEF 的周长是 2+8+11+6+4+15=46(cm)。 例 9多边形内角中，为什么不能有超过 3 个的锐角？ 答：直接证明较困难，因而利用多边形外角和定理，采取反证法 证法提要：若有 n(n4)个内角为锐角，则与其对应的外角就有 n(n4)个钝角，它们的和大于 360，与外角和定理相矛盾故得证 例 10为什么“四边形的周长大于两条对角线长度之和？” 分析：先将问题转化为：“已知，求证”的形式。 已 知：四边形 ABCD 得对角线 AC 与 BD 相交于 E，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD。 证明：在ABD 中:AB+ADBD(1)在ABC 中:AB+BCAC(2)在BCD 中:BC+CDBD(3)在ACD 中:CD+ADAC(4) (1)+(2)+(3)+(4)得 AB+BC+CD+DAAC+BD。 例 11、用正多边形铺地面，哪些正多边形可以铺得平整且无空隙？为什么？ 答：只有正三角形、正方形、正六边形。由于要求铺得平整且无空隙，所以若干个正 n 边形的内角可以组成 360，即 （k 为正整数）能够满足上面方程的 n 只有 3，4，6。
