1、【跟踪训练】1、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E 为 PC 中点证明：PA面 EDB. 证明：连结 AC 交 BD 于 O，连结 EO. ABCD 为正方形， O 为 AC 中点 E 为 PC 中点， OE 为 PAC 的中位线，故 EO PA.又 EO面 EDB 且 PA面 EDB，故 PA面 EDB.2、在直四棱柱 ABCD A B C D 中， AA 2，底面是边长为 1 的正方111形， E、 F、 G 分别是棱 B B、 D D、 DA 的中点求证：(1)平面 AD E平面 BGF；1(2)D E平面 AEC. 【证明】 (1) E， F 分别是棱 BB
2、， DD 的中点，1 BE D F 且 BE D F， 11四边形 BED F 为平行四边形， D E BF，又 D E平面 AD E， BF平面 AD E， 1111 BF平面 AD E.又 G 是棱 DA 的中点， GF AD ，1又 AD 平面 AD E， GF平面 AD1E，11 GF平面 AD E，又 BF GF F，平面 AD E平面 BGF.1(2) AA 2，AD=1， AD ，115同理 AE ， D E ，13 AD D E AE ， D E AE.12221 AC BD， AC D D， BD D D D，1 AC平面 BB D D，又 D E平面 BB D D， AC
3、D E，111又 AC AE A， D E平面 AEC.1【点评】 面与面平行的证明转化为线线平行或线面平行的证明是常用的方法，应充分利用三角形的中位线及平行四边形这两种图形中的线线平行来证明【课堂互动】3、正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1，点 F、 H 分别为11A D、 A C 的中点1(1)证明： A B平面 AFC ；1(2)证明： B H平面 AFC .【证明】 (1)连 BD 交 AC 于点 E，则 E 为 BD 的中点，连 EF，又 F 为 A D 的中点，所以 EF A B.1 1又 EF平面 AFC， A B 平面 AFC，1由线面平行的判定定理可得 A B平面
4、 AFC.1(2)连 B D, 在正方体中 A B CD 为长方形，11 H 为 A C 的中点， H 也是 B D 的中点，1只要证 B D平面 ACF 即可由正方体性质得 AC BD， AC B B，1 AC平面 B1BD， AC B D，又 F 为 A D 的中点，1 AF A D，又 AF A B ，1 AF平面 A B D，1 AF B D，又 AF、 AC 为平面 ACF 内的相交直线 B D平面 ACF.1即 B H平面 ACF.【点评】 证明线面垂直，往往利用线线垂直或面面垂直转化，除此外，构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理求长度之间的关系证明垂直，甚至借助矩形相邻边的垂直等，
5、都是可能用到的方法【互动探究】4、如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD60， Q 为 AD 的中点(1)若 PA PD，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)点 M 在线段 PC 上， PM tPC，试确定实数 t 的值，使 PA平面MQB.【解】 (1)证明：因为 PA PD， Q 为 AD 的中点，所以 PQ AD.连结 BD，因为 ABCD 为菱形， DAB60，所以 AB BD，所以 BQ AD因为 BQ平面 PQB， PQ平面 PQB， BQ PQ Q，所以 AD平面 PQB，因为 AD平面 PAD，所以平面 PQB平面 PAD5如图，在正三棱柱 ABC
6、A B C 中，点 D 在边 BC 上，1AD C D.1(1)求证： AD平面 BCC B ；1(2)设 E 是 B C 上的一点，当 的值为多少时，1 1ECA E平面 ADC ？请给出证明11解：(1)证明：在正三棱柱中， CC 平面 ABC， AD平面 ABC，1 AD CC1又 AD C D， CC C D 于 C ，且 CC 平面 BCC B ，1111C D平面 BCC B 内， 1 AD平面 BCC B 1(2)由(1)得 AD BC.在正三角形 ABC 中， D 是 BC 的中点当 1，即 E 为 B C 的中点时， A E平面 ADC .CB111在正三棱柱 ABC A B C 中，四边形 BCC B 是矩形，且 D、 E111分别是 BC、 B C 的中点， B B DE1又 B B AA ，且 B B AA ，111 DE AA ，且 DE AA .四边形 ADEA 为平行四边形， A E AD.1 1而 A E 平面 ADC ，故 A E平面 ADC 1 11
