1、集合性質與範例,組別: 12組員:郭建識 黃偉翔 姜禮翊授課老師:張淑慧,集合（或簡稱集）是基本的數學概念， 最簡單的說法，即是在最原始的集合論樸素集合論中的定義，集合就是一堆東西。集合裡的東西，叫作元素。若然x是集合A的元素，記作xA。,集合是現代數學中一個重要的基本概念。集合論的基本理論直到十九世紀末才被創立，現在已經是數學教育中一個普遍存在的部分，在小學時就開始學習了。這裡對被數學家們稱為直觀的或樸素的集合論進行一個簡短而基本的介紹；更詳細的分析可見樸素集合論。對集合進行嚴格的公理推導可見公理化集合論。,定義 簡單來說，所謂的一個集合就是將數個對象歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體
2、。 一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認對象的彙集。構成集合的事物或對象稱作元素或是成員。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。,符號 元素則通常用a,b,c,d或x等小寫字母來表示；而集合通常用A，B，C，D或X等字 母來表示。 當元素 a 屬於集合 A 時,記作 aA。 假如元素 a 不屬於 A，則記作 aA。 如果A和B兩個集合各自所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作A=B。,集合的特性無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而
3、言，元素之間沒有必然的序。互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。,集合的表示,集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法:A= 大於零的前三個自然數B= 紅色、白色、藍色和綠色另一種方法是在大括號中列出其元素稱為列舉法:C= 1, 2, 3D= 紅色，白色，藍色，綠色,子集與包含關係,定義集合A，B，若aA，有aB；AB。則稱A是B的子集，亦稱A包含於B，或B包含A，記
4、作AB。若AB，且AB，則稱A是B的真子集，亦稱A真包含於B，或B真包含A，記作AB。,基本性質 包含關係是集合間的一個非嚴格偏序關係， 因為它有如下性質：自反性：集合S，SS；（任何集合都是其本身的子集）反對稱性：AB且BA A=B；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）傳遞性：AB且BC AC；,真包含關係是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質：反自反性：集合S，SS都不成立；非對稱性：AB BA不成立；反之亦然；傳遞性：AB且BC AC；,包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而是 這個偏序關係的最小元素，即：集合S，S；且若 S，則S， （空集是任何集合的子集，是任何非空集合
5、的真子集）,舉例 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。1, 31, 2, 3, 41, 2, 3, 41, 2, 3, 4,B 的子集 A,集合的運算,並 兩個集合可以相加。A和B的聯集是將A和B的元素放到一起構成的新集合。定義 給定集合A，B，定義運算如下：AB = e|eA 或 eB。AB稱為A和B的聯集。,示例1, 2紅色, 白色 = 1, 2, 紅色, 白色1, 2, 綠色紅色, 白色, 綠色 = 1, 2, 紅色, 白色, 綠色1, 21, 2 = 1, 2,A 和 B 的聯集,基本性質 作為集合間的二元運算，運算具有以下性質。交換律：AB
6、 = BA；結合律：(AB)C = A(BC)；冪等律：AA = A；么元：集合A，A = A；（是運算的么元）。,交集 一個新的集合也可以通過兩個集合共有的元素來構造。A和B的交集，寫作AB，是既屬於A的、又屬於B的所有元素組成的集合。若AB= ，則A和B稱作不相交。,A 和 B 的交集,基本性質 作為集合間的二元運算，運算具有以下性質。交換律：AB = BA；結合律：(AB)C = A(BC)；冪等律：AA = A；空集合：集合A，A = ；（是運算的空集合）。 其它性質還有： AB AB = A,示例1, 2紅色, 白色 = 1, 2, 綠色紅色, 白色, 綠色 = 綠色1, 21, 2
7、 = 1, 2,差兩個集合也可以相減。A在B中的相對補集，寫作BA，是屬於B的、但不屬於A的所有元素組成的集合。在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集U的子集。這樣，UA稱作A的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作A或CUA。相對補集 A - B 補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。,相對補集 A - B,定義 給定集合A，B，定義運算：A - B = e|eA 且 eB。 A - B稱為B對於A的差集，相對補集或相對余集。 在上下文確定了全集U時，對於U的某個子集A，一般稱U - A為A（對於U）的補集或余集，通常記為A,基本性質 A - A = ；右么元：集合A，A - = A；（是 - 運算的右么元）。左零元：集合A， - A = ；（是 - 運算的左零元）。,資料來源:維基百科 http:/zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5,
