1、第三章：量子力学初步,背景知识: 傅里叶变换（NO.9）,普通人眼中的声音：,音乐人眼中的声音,物理人眼中的声音,傅立叶变换与拟变换：,具有时间周期性的函数f(t)：,类比，可得到具有空间周期性的函数f(x)：,考虑到德布罗意关系，得到,平均值的求法,问题的提出：量子力学的基本规律是统计规律，波函数只包含概率的含义。对于任何物理量，只有求出它对应的平均值后，才能和实验上观测到的量相比较。如何求平均值呢？,例如一根质量分布均匀的木棒，长L，坐标位置x可以在0-L直接的任何地方，那么它的平均值：,对任意x的函数 f(x) 在定义域0, L范围，其平均值：,坐标的平均值,在量子力学中，可测量的函数f
2、（x）的平均值：,动量的平均值,坐标表象（representation） 用坐标（例如一维坐标系中的x）来表示物理体系（物理量）的行为。,若存在p=p(x),与海森伯不确定关系违背，也与波粒二象性违背。因此 px(x)是没有意义的，就无法用上面的公式获得动量的平均值。,？,(x) 和(px)之间可用傅立叶变换联系：,这样,如果把动量px改换成 ，就可以在坐标表象里求动量的平均值了。,算符的引入,量子力学与经典力学相比有两个显著的区别，一个是专门引入态函数(波函数)描述体系的状态，另一个是用算符表示力学量。在坐标表象中即在 (x) 中求动量的平均值,须把px换成算符形式 ,记为 ,动量的算符,动
3、能的算符,在坐标表象中，凡x函数的力学量，其算符就是本身。如势能V(x)的算符就是V(x) 。这样总能量(动能加势能)的算符是,在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量，如角动量力学量L=rp。在量子力学里，相应的角动量算符是,在直角坐标系中,在动量表象中求解动量平均值得过程中，我们利用了下面的公式：,算符的本征值，本征函数,本征方程,本征值,本征函数,力学量算符有一个重要的性质，即代表力学量的两个算符的乘积一般是不对易的。用符号 的对易关系,对易关系,利用上关系式和角动量直角坐标分量算符的表达式,也不难证明,对易关系,角动量算符的坐标变换,此关系为球坐标参数表示的角动量算符在直角系坐
4、标下的分量。思考：如何求得直角坐标参数表示的角动量算法在球坐标系下的分量？,例题 若粒子在0,d范围、无限深势阱作一维运动，其状态由波函数 描述。,求(1)归一化常数A; (2)概率密度,及最大的几率密度; (3)0,d/2之间粒子出现的概率。 (4) (6)求基态能,解:(1)由归一化条件,第三章：量子力学初步,薛定谔方程,薛定谔（Erwin Schrdinger，1887年8月12日1961年1月4日），又译薛丁格，原名埃尔温鲁道夫约瑟夫亚历山大施罗丁格（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrdinger），生于维也纳埃德伯格（Wien Erdberg），卒于维
5、也纳。奥地利理论物理学家，量子力学的奠基人之一。1933年和英国物理学家狄拉克共同获得了诺贝尔物理学奖，被称为量子物理学之父。,1926年他提出著名的薛定谔方程，为量子力学奠定了坚实的基础。方程的提出只是稍晚于沃纳海森堡的矩阵力学学说，它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。薛定谔证明了自己的波动力学是与海森堡和玻恩的矩阵力学在数学上是等价的。 1944年薛定谔出版了生命是什么，此书中提出了负熵（Negentropie）的概念。他自己发展了分子生物学，想通过用物理的语言来描述生物学中的课题。他还发表了许多的科普论文，它们至今仍然是进入到广义相对论和统计力学的世界的最好向导。,经典力学（质点）
6、量子力学(微观粒子) 特点 粒子性 波粒二象性 运动情况 沿轨道运动 无轨道 状态描述 坐标(r)和动量(p) 波函数 由初态求末态 牛顿方程 薛定谔方程 运动方程 ？,薛定谔方程,不确定关系的成立表明：不能用传统力学的方法来表述微观粒子的运动规律，只能从微观粒子的波动性入手，寻求其运动规律。,波函数,波动方程,(亥姆霍兹方程),？,机械波电磁波,物质波,自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。,自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。,结论：自由粒子的物质波是单色平面波。,对应的德布罗意波具有频率和波长：,自由粒子的波函数,这个波函数既
7、包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。,对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为：,自由粒子的波函数,薛定谔方程,自由粒子,机械波或者电磁波,波函数：,波动方程：,?,非相对论粒子能量：,当V(x)=0时：,薛定谔方程,一维薛定谔方程,三维薛定谔方程,得到：,定态薛定谔方程,三维薛定谔方程,分离变量：,代入上式，并除以,得到：,得到,一维无限深势阱,在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内为零（X从0到d），而在此区域外，势能为无限大，即：,粒子只能在宽为d的两个无限高势壁间运动这种势阱成为无限深势阱。,二阶微分
8、方程有 两个参数,通解形式,通解形式,根据波函数的标准化条件，在边界上：,若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件,一维无限深势阱,由归一化条件确定常数A：,一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：,n不能取零，否则无意义。,（1）能级和能级差,说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,零点能的存在 称为基态能量。,能级间隔：,4、当 能级分布可视为连续的,2、对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，E很小，故其能量可看作是连续变化的。,3、对微观粒子，若在宏观范围内运动，则 E很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围
9、内运动，则E很大，能量量子化就很明显。,1、相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。,能级间隔：,例：求电子在普通尺度 a =10-2 m 势阱宽度范围的相邻能级。,解：电子能量,相邻能级间隔,当n1时，能量相对间隔,量子化不显著。,稳定的驻波能级,n+1个节点,（2）波函数,粒子在势阱中的波函数很像两端固定的驻波波形，波的波长随能级的增高而缩短。,n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。,（3）几率密度,粒子在势阱中的概率密度：,经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连
10、续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。,随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。,一维有限方势阱,V(x),x,0,-d/2,d/2,E,已解,V(x),x,0,-d/2,d/2,E,一维有限方势阱,结论：1、波函数在三个区域有不同的函数形式，但表述的是同一个状态。2、当xd/2时，V0E，粒子可以出现在总能量小于势能的区域，但是波函数按指数减小,因为：由不确定关系决定了汽车在车库中永远不能静止；微观客体在有限势阱内有一定的透出几率。,按照量子理
11、论，车库内（有限势阱）的汽车有突然闯入大厅的概率！,粒子在 x a的区域。,设一个质量为m的粒子，沿x轴正方向运动，其势能为：,这种势能分布称为一维势垒。,在量子力学中，情况又如果呢？,势垒贯穿(隧道效应）,(x0), 1,(0xa), 2, (xa), 3,x,0,a,U0,（1）EU0,将上面的三个式子乘以因子： ，可知：,三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。,1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。,2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。,3右边的第一项表示穿出势垒的透
12、射波， 3的第二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波(C=0)。,利用波函数标准条件，可得：,势垒贯穿(隧道效应）,透射率和反射率,（2）Ea区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入xa区域。粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。,狮子的能量大于U才能出来！,不好，狮子出来啦！,经典理论,量子理论,救命,U,U,势垒贯穿(隧道效应）,为表彰扫描隧道显微镜的发明者们对科学研究的杰出贡献，1986年美国IBM公司瑞士苏黎世的实验室宾尼（德国）和罗雷尔（瑞士）被授予诺贝尔物理学奖。,应用扫描隧道显微镜,电子云,Ub 微小电压,1.测样品表面：控制，使I 保持恒定；,2.分
13、辨样品表面离散的原子，分辨率,横向0.1nm ，纵向0.01nm，电子显微镜（0.30.5nm）,1981年IBM公司,电子云重 叠,1990年，IBM公司的科学家展示了一项令世人瞠目结舌的成果，他们在金属镍表面用35个惰性气体氙原子组成“IBM”三个英文字母。纳米技术正式诞生,这是中国科学院化学所的科技人员利用纳米加工技术在石墨表面通过搬迁碳原子而绘制出的世界上最小的中国地图。,Photoassociation principle,25 50 75 100 125,6s1/2+6s1/2,Elongated molecules asymptotiqueLink with atomic par
14、ameters Cold molecules formation,第三章：量子力学初步,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,x= r sincos cos = z/ry= r cossin tg = y/xz= r cos r2=x2+y2+z2,直角坐标,坐标变换,球坐标,球坐标系,库仑势,分离变量,球坐标系,通解形式,通解形式,缔合Legendre多项式,归一化因子,只有当,上述方程有解,其中,球谐函数,m,0 0,01-1,1,量子
15、数,氢原子和类氢原子的角向波函数(查表）,宇称算符,宇称描述粒子在空间反演下变换性质。它只有两个值+1和1。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(rr)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P=1)，如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P=+1),考虑参量代换,n，l，m是量子数，为本征态的标志,几个径向波函数Rnl的计算,几率分布,d,d,dS,dr,r,d,y,z,x,rd,rsin,对解的讨论,计算核外电子到原子核的平均距离,球谐函数的图示,曲面到中心的距离表示函数值的大小,“电子云”,能量和角动量,量子数的物理含义,跃迁选择定则,小论文题目（选做）：1. 阿福加得罗常数实验测量方法的发展历程2. 普朗克公式的推导方法3. 电子轨道角动量量子化的推导方法4. 不确定关系的推导方法5. 角动量算符在球坐标系下直角系坐标参数的表示6. 坐标在动量表象中的算符形式7. 一维有限势阱中粒子的几率密度分布,
