1、数列通项公式的求法一观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：9，99 ，999 ，9999，变式 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式: 1,3,7,15, 变式 2：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式:7,77,777,7777, 二、公式法（利用等差等比数列相关公式）例 2：设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ，nanb1ab， ，求 ， 的通项公式。352153anab变式：实数列 等比数列, 成等差数列，求数列 的通项 。是n74561,且 nna三、Sn 法（ ）1 ,2nnaS例 3:各项全不为零的数列a k的前 k 项和为 Sk,且
2、 Sk N*),其中 a1=1.Z 求数列 ak ka(21。变式 1：设数列 满足 ， 求数列 的通项n21133na*n变式 2: 已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 ，且naS1， 求 的通项公式。6()2nnSaNn四、累加法例 4： 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式n112naa， na变式 1：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。3n，变式 2:已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11n， n五、累乘法例 5 ：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na变式：已知数列 满足 ，求 的121()(2)， na通项公式六、倒数法 （ ,两边取
3、倒数后换元转化为 ）1nnapq qpann1例 6：在数列 中，已知 求数列 的通项式。n12,2.nan此类题型也可用求“特征根法”加以求解。变式 1: 在数列 中满足 且当 时,有 ,求na,51*,2Nnnna21变式 2:已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， ，nS)(0San 1求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式。nS1n七、换元法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公na1 1(42)6nnnaa， na式。八、迭代法例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na九、对数变换法例 9.已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。n512
4、3nn17n十、利用递推关系10 1 递推关系 其中 为常数1 nafa这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列f(n)可求前 n 项和).当 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式而当 为等差数列时，则)fn ()f的通项公式应当为 形式，注意与等差数列求和公式一般1(xf2nxabc形式的区别，后者是 ，其常数项一定为2nSab例 10：数列 中， ， （ 是常数， ） ，且11nc 123n， ， ，成公比不为 的等比数列求 的通项公式123a， ， a变式 1:已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 112, 2nana变式 2:已知数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式
5、。n1nn1an10 2 递推关系 其中 为常数1 af由递推式得 ，诸式相乘，得21321,nnaffafa，即为累乘法求数列通项公式。1nkaf例 11：已知数列 的首项 ，其前 项和 ，求数列 的通项公nb1n12nnSbn式。变式：数列 满足 且 ，求数列 的通项公式。na12nna 1ana10 3 递推关系 其中 为常数且1 pq,pp令 ，整理得 ，所以 ，即1nna 11nna1q，从而 ，所以数列 是等比数列或消去qp1nnqqpnap常数转化为二阶递推式 .211()nnxx例 12 已知数列 中， ， ， 求 的通项公a2(naa1,23 na式。例 13 已知数列 中，
6、 ,求 的通项公式nx 11()nx， nx 变式：数列 中，设 且 ，求数列 的通项公式。a0,a263na10 4 递推关系 其中 为常数且 ， 为非常数1 nnpf,pa1pfn由递推式 两边同除以 ，得 ，对此采用 10. 1nnaf 1n11nnfa1 中所述的累加法可求。例 14：在数列 中， ，其中 求n 1112(2)()nnnaN， 0。a10 4 ；1(,)nn+x=qd,qd为 非 零 常 数这类数列可变换成 ，令 ，则转化为累加法求通项公式1nnxAnxy例 15.设数列 求数列 的通项公式1132(*)nxN. 满 足 ： ， nx 10.5 递推关系 其中 为常数1
7、12 ,= nnapqab,pqab1051 若 时， ，即 ，知 为11nna1na等比数列，对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。例 16：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na12215,33nnnaan变式：已知数列 中， ，求数列 的通项公式a10 52 若 时，存在 满足 ，整理得pq12,x121nnxx，有 ，从而 是等比数列，112nnnaxax1pq1对此采用 10. 4 中所述的方法即可。10.6 1(0,)pn+n=c这类数列可取对数得 ，从而转化为等差数列型递推数列.或可转化为等1lglgnxc差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 例 17.设数列 求数列 的通12215(*)33n nnnxxN. 满 足 ： ， ， nx 项公式变式.在数列 求 1221()n nnxx 中 ， 已 知 ， ， 10例 18.已知数列 满足 ，求 的 13(2)n nxx， nx 通项公式
