1、 1 郑州大学大学生数学建模竞赛初赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 参赛队员 ：指导教师或指导教
2、师组负责人 ： 崔庆安 日期： 2009 年 9 月 13 日2 A 题新技术的推广问题众所周知，新的技术可以给企业带来收益，然而，新技术的实施也同样具有风险性。企业需要对是否采用新技术以及何时采用进行决策，政府机构需要对新技术的发展进行干预进行决策，因此，在新技术的推广中，存在着大量决策问题。现在请你在假设条件下，就以下几个方面的问题进行讨论：假设：1. 新技术的出现是社会经济发展和科学技术进步的必然结果，也将会随着经济科技的前进而不断地发展和完善。2. 与原有技术相比，新技术本身具有竞争力，同时，新技术与其改进型之间也存在着竞争。3. 政府在新技术的推广应用中起着重要的推动作用。问题：1建
3、立一个新技术扩散的数学模型，通过这个模型对新技术的演化机理进行分析；2如果考虑企业实施新技术的能力，对新技术的扩散模型改进；3通过分析找出影响新技术扩散的主要因素；4分析政府在新技术扩散的作用，给出调节新技术扩散的政策建议，对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。3 新技术的推广问题一、摘要本文通过对新技术扩散的深入分析，利用 bass 扩散的相关原理建立了新技术扩散的数学模型，通过这个模型对新技术的演化机理进行科学的分析与评价。对新技术扩散的研究主要是从技术扩散的总体角度研究扩散过程。其典型的变量是某一时间t企业采用新技术的个数，根据建立模型的需要，我们引入三个参数，创新系数p,扩散系数
4、q，最大市场潜力m。在基本假设的条件下对模型进行推导，总结了该模型的几种不同的形式，如基本形式（2） ，累计量形式（6） ，非累积量形式（8）等。由分析知，累计采用量 N(t)为 S 形，增长上限为 m，即当 t时，N(t)m，m 就是该技术的最大市场潜量；非累计采量n(t)呈钟形，由它的曲线图可以看出，新技术扩散是由 pm 个采用新技术的企业带动起来的，一旦扩散开始，在假设条件下，不考虑其他因素的影响，扩散过程从时间t*到时间 2t*具有对称性。经过分析比较不同参数估计方法的优缺点，发现对模型中参数p，q的确定采用非线性最小二乘法的估计更为准确，因此可结合新技术扩散的历史数据，并利用Evie
5、ws4.0 计量经济学软件，采用非线性最小二乘法来对参数p，q进行合理估计。对于参数m，可根据经验或者类似的例子进行确定。如果考虑企业对新技术的实施能力，我们又对模型引入了新的变量，进行了适当的改进。模型建立后，我们应用模型对互联网新技术在中国的扩散进行研究，选取1998 年 6 月至 2006 年 6 月共 17 个数据点作为模型数据，然后计算各年的互联网用户的累积采用量，把计算值与实际值比较，并用 MATLAB 做出比较图形，发现两者比较吻合，这说明模型可以很好的描述我国互联网这项技术的扩散过程，即模型能够解决实际问题。最后我们分析了影响新技术扩散的一些因素，特别是政府在新技术扩散中的作用
6、。政府对新技术的推广有推动作用，主要体现在影响扩散系数 q 上，为优化 q 值，我们又针对政府方面给出调节新技术扩散政策的建议，并进行科学的预测和评价。关键词：技术扩散 bass 模型 参数估计 政府 互联网 4 二、问题重述在当今社会，技术创新已成为一个企业、一个地区，乃至一个国家经济发展的决定性因素，技术创新的真正意义在于新技术扩散，新技术扩散使一项新技术的潜在经济效益最大限度地发挥出来。而企业是新技术的有效载体，企业对于新技术的采用增强了新技术扩散的范围。因此，研究企业中的新技术扩散具有重大的理论价值和实践意义。自从创建 Bass 模型以来，创新技术和产品的扩散模型得到了长足的发展，人们
7、从不同角度将模型进行扩展，放宽模型的假设条件，使模型更加柔性化。经过多年的发展，在技术扩散模型的研究方面取得了很大的进展，外国很多企业采用 Bass 模型成功地进行了创新技术扩散的预测。但我国多数企业进入该研究领域的时间较晚，需要具体的实例来检验和应用，以提高我国的企业的发展水平。新技术的扩散有利于推动我国经济社会的 R&D(research and develop)进程，然而在新技术的推广与扩散的过程中，还存在着大量的问题。企业的发展离不开新技术的应用，新的技术可以给企业带来收益，然而，新技术的实施也同样具有风险性。企业需要对是否采用新技术以及何时采用进行决策。鉴于新技术对于生产力发展的巨大
8、推动作用，政府机构也需要对新技术的发展进行干预。研究新技术扩散要面临诸多方面因素的共同影响，经过对实际情况的调查与分析，我们需要解决的问题有：1建立一个新技术扩散的数学模型，通过这个模型对新技术的演化机理进行分析；2如果考虑企业实施新技术的能力，对新技术的扩散模型改进；3通过分析找出影响新技术扩散的主要因素；为此，我们结合假设建立新技术扩散的数学模型，并对模型进行改进，以便为分析新技术扩散的相关问题提供科学的参考。三、基本假设1新技术的出现是社会经济发展和科学技术进步的必然结果，也将会随着 经济科技的前进而不断地发展和完善。2与原有技术相比，新技术本身具有竞争力，同时，新技术与其改进型之 间也
9、存在着竞争。3 政府在新技术的推广应用中起着重要的推动作用。4 市场潜力随时间的推移保持不变。5一种新技术的扩散独立于其他新技术。6 企业对新技术的引进属于第一次，不包括改进型的再次引进。7社会系统的地域界限不随扩散而改变。8扩散只有两阶段过程，不采用和采用。9单位时间内潜在采用者转变为实际采用者的可能性与实际采用者在全部潜在采用者中所占的比重正相关。5 四、符号说明t-时间m -潜在采用者总数；N(t)-时刻 t 累计采用技术创新的总数；n(t) - t 时刻的非累计采用量；p -创新系数；q-扩散系数；f(t)- t 时刻发生购买的概率或 t 时刻的采用比；t1 和 t2- n(t)曲线的
10、两个拐点出现的时间；五、分析与建模流程（一） 新技术扩散，是指新技术通过一种或几种渠道在社会系统的各成员或组织之间随时间传播并推广应用的过程。熊彼特（ 熊彼特， J.A.Joseph Alois Schumpeter （ 1883 1950） 美籍奥国经济学家，当代资产阶级经济学代表人物之一 ）认为,技术创新的真正意义在于新技术扩散， 新技术扩散的势头越旺,经济增长速度就越快。因此,从宏观上看,新技术扩散的意义远大于技术创新本身。新技术的规模、速度受很多因素的影响，但从新技术的实践看，环境因素是影响新技术扩散的重要因素。因此，对新技术扩散环境因素及其对技术创新扩散轨迹的影响分析，就显得非常有意
11、义。新技术扩散是扩散主体通过各种渠道向潜在采用者传递的过程，这一过程包括扩散源对特定信息和技术的发送、中介渠道对信息和技术的传递、潜在采用者对信息的接收和处理及其基础上对特定技术的采用(如图 1) 。由于潜在采用者模仿已采用新技术企业的基本动机是增强企业竞争能力，提高盈利水平，决策依据仍然是期望收益和期望成本的比较，潜在采用者只有“确信”模仿能够增加企业盈利，他(她) 才会设法获取并实施该项技术，即新技术扩散包括创新观点的扩散和技术的扩散，前者是后者的先导和前提。图1 新技术扩散的基本过程一项新技术从诞生到完全被经济系统吸收往往要经历无数基本扩散过程,这些基本过程的总和就构成了新技术扩散的全过
12、程。潜在采用者一旦采用新技术，变为实际采用者，他就成了扩散源的一部分，故各个基本扩散过程之间是互相影响、密切联系的。由假设单位时间内潜在采用者转变为实际采用者的可能性与实际采用者在6 全部潜在采用者中所占的比重正相关，故在技术扩散的初始阶段，基本扩散过程是缓慢的，随着总体扩散过程的进行和扩散源的不断扩大，基本扩散过程呈加速之势。一般说来,在创新扩散的早期，新技术采用者因竞争不激烈而有较高的回报而晚期的创新采用者只可能获得较低的回报。不过，早期的采用者面临着较高的风险，晚期的采用者面临着较低的风险。潜在采用者的决策层对可能的回报及潜在风险的估计及其基础上的比较权衡决定着企业采用创新技术的可能性。
13、图2 创新扩散的全过程系统理论认为,环境是指处于系统边界之外与系统进行物质能量和信息交换的所有事物的集合。环境是系统存在变化和发展的必要条件。新技术扩散是在一定的社会、经济、人文等环境下，由各种相互作用的要素所组成的复杂技术演进系统。这一系统的构成要素一般包括扩散主体和扩散客体。扩散主体包括创新成果的提供者即扩散源，也包括创新成果的采用者即扩散汇；扩散客体是指被传播的新技术本身，即创新的对象。如图 2 所示。新技术扩散环境就是处在技术创新扩散系统边界之外的所有的因素之和。技术创新扩散环境按其对技术创新扩散的影响程度可分为扩散外环境和扩散内环境。扩散外环境是由扩散系统所处的政治经济体制、经济形势
14、、社会基础设施、社会人文等因素所组成,它处于扩散系统的最外围，对技术扩散的影响是非直接的而且是滞后的，因此可看作是外生的、给定的因素。图 3新技术扩散内环境是指最靠近扩散系统边界的环境因素集合,一般包括政府政策环境、市场环境、中介环境和支撑环境。它是技术创新过程赖以存在的必要条件,对扩散的过程有直接的影响。因此,本文所研究的新技术扩散环境就是指这一环境因素的集合。创新系数 p 和模仿系数 q 创新系数 p 代表受外部因素影响的程度，p 值越大，表示创新的扩散受外部因素影响越大，反之则越小；模仿系数 q 代表受内部因素影响的程度，q 值越大，表示创新的扩散受内部因素的影响越大，反之则越小。（二）
15、 经过对新技术的扩散特性进行分析，我们决定以 bass 模型为基础建立模型，以便对新技术的扩散轨迹进行客观的描述。7 模型推导模型融合了 Fourtand，Woodlock(1960) 与 Mansfield (1961)提出的两种模型，认为新技术在市场上的扩散速度会受两种传播方式的影响：一是大众传播媒介，如广告等外部影响，它传播的是新技术中容易得到验证的部分如引进资金、功能等: 二是口头交流，即己采纳者的宣传等内部影响，它传播新技术中某些一时难以验证的性能如可靠性、使用方便性以及效率等。其基本模型为：()()()qntpNtmt（1）即()()()()()dt qntptNtt（2）或2()
16、()()()dNt qntpmqpNttm（3）相应的，2()()()(dFtftpqpFtqt）（4）求解微分方程（4） ，由于 F（0）=0,于是得到： ()()1()pqttet( 5 )()()1() pqtteNtm（6）分别对（5） ， （6）求导，就可以得到：8 2()()2()() (1pqttpqeft q（7）2()()2()() (1pqttpqentmq（8）由公式(8),可以很容易的推算出销售峰值所出现的时间 t，以及最大销售量n(t) *1ln()ptpq(9) 2*()()4mnt(10)相应的还可以求出 t时刻的累计销售量 *()Nt*0()()()2t mqp
17、Ntndt(11)总结模型的推导过程，可以发现模型有几种不同的形式。其中（2）式，（3）式和（4）式是基本形式。由 Bass 模型的基本形式可以得到 模型的累计采用比例形式（5）式和累计采用量形式（6）式，它们的曲线图都为 S 形。最后还可以得到非累计采用比例形式（7）式和非累计采用量形式（8）式，它们的曲线图都为钟形。 关于此模型，有两点值得我们注意：（1）模型的参数取值范围是：00，且 pq。（2）根据模型的基本假设，每个采用者的采用新技术是一个单位，因此 n(t)既可以代表 t 时刻的非累计采用企业数，又可以代表 t 时刻的非累计销新技术的输出量；同样地，N(t)既可以代表 t 时刻的累
18、计采用企业数，又可以代表 t 9 时刻的累计输出量。 新技术扩散模型的结构特点及曲线分析根据 Bass 模型的基本形式(3)式可知， n(t) 受 p( m - N(t) 和 ()()qNtmt这两部分的共同影响，即新技术的潜在采用者主要受到两种因素的影响外部影响和内部影响，于是我们可以绘制出新技术扩散模型的概念结构图。由图 4 可以清楚地看到大众媒体等外部影响力将会随着时间的推移而逐渐减弱，而口头传播等内部影响力却会后来者居上，并有很强的持续作用。 图 5 是模型累计采用量形式和非累计采用量形式的对比图。如图所示，累计采用量 N(t)为 S 形，有一个拐点，增长上限为 m；非累计采用量 n(
19、t)呈钟形，有两个拐点和一个峰值点；并且 n(t)曲线的峰值点出现时间，正好对应于 N(t) 曲线的拐点出现时间。10 两种曲线形式的拐点非常重要，它们往往是研究新技术扩散的关键所在，是进行经济预测与决策的重要参考点。N(t) 曲线的拐点出现时间 t*，可由公式（9）计算得到；而 n(t) 曲线的两个拐点出现时间 t1 和 t2 可由下面的公式计算得到：（12）（13）从 N(t) 曲线图可以看出，新技术扩散最终会趋近于一条渐进线 N(t )= m ，即当 t 时，N(t) m ，m 就是该技术的最大市场潜量。从 n(t)曲线图可以看出，产品扩散是由 pm 个采用者带动起来的，一旦扩散开始，扩
20、散过程从时间 t*到时间 2t*具有对称性。但是也可能受其他不确定因素的影响，出现略微的偏差，但总体走势在假设条件下应该是接近 S 型的。 新技术扩散模型的参数估计模型提出以后，参数估计方法的研究就成为了一个重点；该模型有三个参数，即最大市场潜量 m、创新系数 p 和模仿系数 q。 概括来说，模型的参数估计主要有两类：一类是数据充足情况下的参数估计，另一类是数据不充足情况下的参数估计。在历史数据充足时，常用的参数估计方法是普通最小二乘法、极大似然法和非线性最小二乘法等；而如果缺乏有效的数据，参数估计则可以在管理人员的经验判断或与历史上相似新技术的类比等辅助手段下进行。 普通最小二乘法是最早用于 Bass 模型的参数估计方法，然而后来一些学者的研究结果表明，非线性最小二乘法和极大似然法比普通最小二乘法在统计上更为有效。Mahajan 等人比较了普通最小二乘法、极大似然法、非线性最小二乘法以及代数估计，认为非线性最小二乘法的估计结果比其他方法更为准确。为此，本模型主要讨论普通最小二乘法和非线性最小二乘法这两种参数估计方法。(1)普通最小二乘法（OLS）：普通最小二乘法是线性回归模型中常用的估参方法。其基本步骤是：对于多元线性回归模型 mxbby10 ，即xy选择合适的 ，使得当时)()( 2101 XyxbxbyQiminii （14）达到最小，即令 02yXQ（15）
