1、 数列的通项与求和一、知识梳理： 求数列通项公式的常见题型与方法：1由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。2利用“归纳猜想证明”的方法求通项。3 利用 nS与 a的关系： )2(11nSn，求通项。4根据数列的递推公式求数列的通项公式，其中常用方法有：（1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等） ，从而求出数列的通项公式的方法。这是一种较常用的方法。（2）累加法、累乘法.数列求和的常见方法有： 1、 公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式、 ，(1)22n 22213()216nn333()4n， ， 215(1)n 235(21)(n等差数列中
2、，S m+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，S m+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含 因式，周期数列等等） ；(-1)注：并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如类型，可采用两项合并求解。(1)nnaf3、倒序相加法：如果一个数列a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，n则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：a n+a1=an-1+a2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那
3、么常可考虑选用倒序相加法， （等差数列求和公式）4、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。特征：所给数列a ，其中 a =cnbn 而c n是一n个等差数列，且b n则是一个等比数列。 （“等比数列”的求和）5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。常见的拆项公式： = - ； = 1n(n+1) 1n 1n+1 1(2n+1) (2n-1) 12( - ); = ( - )(其中a n是
4、一个公差为 d 的等差数列；12n-1 12n+1 1anan+m 1md 1an 1an+m= ( - )； ；1a-b a b )kk一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）1.数列a n的前 n 项和 Sn=2n2-3n+1,则 a4+a5+a6+a10 等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S 10-S3=2102-310-(232-33)=161.2.数列a n的通项公式是 an= ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为（ ）1A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因 an= ，n11故 Sn=( -1)+( - )+(
5、 )= -1,231由 Sn=10,故 n=120.3.数列a n的通项公式为 an=4n-1,令 bn= ,则数列b n的前 n 项和为（ aan21）A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】a n=4n-1,数列a n是等差数列，且 a1=4-1=3,b n= =2n+1.a2)43(21 显然数列b n是等差数列，且 b1=2+1=3，它的前 n 项和 Sn=b1+b2+bn= =n(n+2).)(4.数列 1， （1+2） ， （1+2+2 2） ， （1+2+2 2+2n-1）,的前 n 项和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n
6、-2 D.n2n【答案】C【解析】令 n=1,排除 A、D，又令 n=2，排除 B.选 C.5.数列 1， ， ， ， 的前 n 项和等于( )234521A.Sn=3- - B.Sn=3- -1-1n 212nC.Sn=3- - D.Sn=3-n2n-212n 21【答案】A【解析】令 Sn=1+ + + , 234n1则 Sn= + + . 21431n-得 Sn=1+ +3212n=1+ 112)(n= .13nS n=3- - ,故选 A.或者用特殊法.6.Sn=1+ + 等于( )321n321A. B. C. D. 1212n【答案】B【解析】a n= ,)1()(2321nnS
7、n=2(1- )+( - )+( )1=2(1- )1= .2n7.(2010 全国大联考，10)已知数列a n满足 an= 则a n的前*),(,)2, Nn为 奇 数为 偶 数 2k-1 项的和为( )A.k2-k+1- B.k2+k+1-1k 1kC. D.23 23【答案】A【解析】取 k=1，S 1= ，排除 B、C；取 k=2,S3= ,排除 D。32514二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）8.已知数列a n的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么 S15+S22-S31 的值为_.【答案】-76【解析】S 15=1-5+9-13
8、+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S 22=-44，S 31=61,S 15+S22-S31=-76.9.(2010 湖北八校模拟，14)数列a n中，S n 是前 n 项和，若 a1=1,an+1= Sn(n1), 则3an=_.【答案】a n=).2()341,12n【解析】a n+1= Sn, a n= Sn-1. 31-得 an+1-an= an, (n2).341na 2= S1= 1= ,当 n2 时，a n= ( )n-2.34a n=).2()1,12n10.数列a n满足 a1= ,a1+a2+an=n2an,则 an=_.【答案】 (n
9、N *)(【解析】a 1+a2+an=n2an a 1+a2+an+an+1=(n+1)2an+1. -得a n+1=(n+1)2an+1-n2an, .1a n=a1 .23a )1()(21,534212 nnn三、解答题（1113 题每小题 10 分，14 题 13 分，共 43 分）11.求 a+2a2+3a3+nan.【解析】设 S=a+2a2+3a3+nan.若 a=0,则 S=0；若 a=1,则 S= ;)1(若 a0,且 a1,则 S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(n-1)an+na n+1 -得（1-a） S=a+a2+an-nan+1= -nan+1.
10、an1)(S= .n)(1212.(2010 湖北黄冈中学模拟， 17)已知等比数列a n中，a 1=64,公比 q1,a 2,a3,a4 又分别是某等差数列的第 7 项，第 3 项，第 1 项.(1)求 an;(2)设 bn=log2an,求数列|b n|的前 n 项和 Tn.【解析】 （1）依题意有 a2-a4=3(a3-a4)，即 2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即 2q2-3q+1=0.q1,q= .故 an=64( )n-1,(2)bn=log264( )n-1=log 227-n=7-n，1|b n|=.7,n7 时，T n= ;n7 时，2)13(T
11、n=T7+ 6=21+ ，)(故 Tn=).7(21)6(7,3n13.(2010 中科大附中模拟，19)等差数列a n是递增数列，前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列，S 5=a52;(1)求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 bn= ,求数列b n的前 99 项的和.12na【解析】(1)设数列a n公差为 d(d0),a 1,a3,a9 成等比数列 ,a 32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. d0,a 1=d.S n=a52,5a 1+ d=(a1+4d)2. 4由得：a1= d= ,53a n= +(n-1) = n.53bn
12、= .)1(925)1(92)1(532 nnb 1+b2+b3+b99= 99+(1- )+( - )+( )9109= (100- )= .504114.设数列a n的前 n 项和为 Sn，若对于任意的 nN *,都有 Sn=2an-3n,(1)求数列a n的首项与递推关系式 an+1=f(an);(2)先阅读下面定理，若数列a n有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数，且 A1,B0,则数列a n- 是以 A 为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求B1数列a n的通项公式 ;(3)求数列a n的前 n 项和 Sn.【解析】(1)S n=2an-3n,S n+1=2an+1-3(n+1).a n+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故 an+1=f(an)=2an+3.(2)a n+1+3=2(an+3),a n+3为等比数列，首项为 a1+3=6,公比为 2，故 an+3=62n-1=32n.a n=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.
