1、第 1 页（共 5 页）第四节 概率与统计的综合应用概率与统计内容在高考中会出现一道大题和 12 道小题，占分大约 1722 分，占整个高考的 15左右，试题的难度为中等偏易或中等，试题特点是小题更加注重基础，大题更加注重能力，通过对课本知识的重新组合，考查概率与统计内容的要点知识和典型方法，是高考卷中的主流应用题的备考点 考试要求：（1）掌握概率与统计的基本概念 （2）掌握几种典型概型、分布列及计算公式 （3）掌握统计及统计案例的典型问题 （4）能抓住与各模块知识的联系，解决概率与统计的综合应用问题题型一 概率与排列组合例 1 在 1，2，3，4，5 的所有排列 中，12345,a（1）求满
2、足 的概率；234,a（2）记 为某一排列中满足 的个数，求 的分布列和数学期望,i点拨：涉及几个量的联系，不容易一下考虑清楚，列举分类解决问题解：（1）所有的排列种数有 个满足 的排列中，若 取5120A12345,aa135,a集合 中的元素， 取集合 中的元素，都符合要求，有 个若 取集,324,a, 321A合 中的元素， 取集合 中的元素，这时符合要求的排列只有 ； ；243 ,42,； 共 4 个,5,故满足 的概率 12345,a32541P（2）随机变量 可以取 ks5u0， ， ，5PA3512CPA256CA， 15938C15930故 的分布列为0 1 2 3 5P386
3、120的数学期望 14 分 10386E易错点：涉及到的数字较多，大小交叉，分类计算时容易错变式与引申1：由数字1，2，3，4组成五位数 ，从中任取一个12345a（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数 ，至少存在另一个正整数j，使得 ”的概率；),5(jkk且 jk（2）记 为组成这个数的相同数字的个数的最大值，求 的分布列和期望 题型二 概率与方程不等式例 2 一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率第 2 页（共 5 页）是 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 25 79（1）若袋中共有 10 个球， （）求白球的
4、个数；（）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，求随机变量 的数学期望 E（2 ）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 并指出袋中哪种颜色的球个710数最少点拨：关键是设定未知量，将问题还原成常见的概率类型，第一问结合目标设袋中白球的个数为 第x二问针对黑球的概率设置问题，因而设袋中有 个黑球，且总球数为 yn解：（1） （i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为 ，则，得到 故白球有 5 个2107()9xCPAx（ii）随机变量 的取值为 0，1，2，3，分布列是0 1 2 3P51的数学期望 132122E（2）
5、证明：设袋中有 个球，其中 个黑球，由题意得 ，ny5yn所以 ， ，故 y1 记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球”为事件 B，则23()5PBn23750所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 ，红球的个数少于 25n5n故袋中红球个数最少易错点：审题忽略关键词，变量设定不科学计算与分析讨论易出错变式与引申 2：在一个盒子中有 *(,)N个球，其中 2 个球的标号是不同的偶数，其余 n 个球的标号是不同的奇数甲乙两人同时从盒子中各取出 2 个球，若这 4 个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这 4 个球的标号之和为偶数，则乙胜规定：胜者得 2 分，负者得 0 分（1）当 3n时，求甲的得
6、分 的分布列和期望；（2）当乙胜概率为 ,7n时 求 的值题型三 概率与函数例 3 袋中有红球和白球共 100 个，从这只袋中任取 3 只，问袋中有几个红球时，使取得的 3 个球全为同色的概率最小？点拨：设红球或者白球个数，构造函数模型解题解：设 分别为红球，白球的个数，则有 ，从 100 个球中任取 3 个球，全为红色,xy 10,xyxN球的概率为 ；从 100 个球中任取 3 个球全为白色的概率为310(1)298xCP，所以取得 3 个同色球的概率为3210()2y第 3 页（共 5 页）=12(1)2(1)2098xyP32()()()970xyxyx= = ；97043x250时，
7、 最小，此时 5x当 P易错点：设元列式解题时，化简过程出错 变式与引申 3：某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 与产量 的函数关系式为Cq，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发201()qCq生的概率及产品价格 与产量 的函数关系式如下表所示：p市场情形 概率 价格 与产量 的函数关系式pq好 04 1643中 04 0差 02 7设 分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量 表示当产量为 时市场前景无法确定123L， ， qq的利润（1）分别求利润 与产量 的函数关系式；123L， ， q（2）当产量 确定时，求期望 ；qE（3）试问产量 取何
8、值时， 取得最大值q题型四 概率与数列例 4 甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下：若掷出的点数之和为 3 的倍数时,原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是 3 的倍数时,就由对方接着掷第一次由甲开始掷,若第 n 次由甲掷的概率为 , nP（1）求甲抛掷一次的点数之和为 3 的倍数的概率；（2）求 n点拨：第 n+1 次由甲掷这一事件，包含两类：第 n 次由甲掷和第 n 次由乙掷；构造数列模型解题解：（1）因抛抛两颗骰子出现的点数为：1、2、3、4、5、6,其点数和为 3 的倍数的情况有：(1,2), (2,1), (3,3), (3,6), (6,3), (6,6), (2,6),
9、 (6,2), (4,5), (5,4), (1,5), (5,1)共 12 种可能甲掷出的点数之和为 3 的倍数的概率为 3612（2）第 n+1 次由甲掷这一事件,包含两类：第 n 次由甲掷,第 n+1 次继续由甲掷,概率为： ,nP第 n 次由乙掷,第 n+1 次由甲掷,概率为：(1 )(1 ),3612n从而有 (1 )(1 ) ,即 （其中 =1）,1nP362n1n1nn321P第 4 页（共 5 页）即 = ( )于是 =( )( , 即 = + (1nP23n21nP1231)nnP2131)n易错点：不能正确找到 与 的关系1变式与引申 4：质点 位于数轴 处，质点 位于 处
10、.这两个质点每隔 1 秒就向左或向右移动 1A0xBx个单位，设向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 33（1）求 3 秒后，质点 位于点 处的概率；（2）求 2 秒后，质点 同时在点 处的概率；,B2x（3）假若质点 在 两处之间移动，并满足：当质点 在 处时，1 秒后必移到 处；C01xC0x1x当质点 在 处，1 秒后分别以 的概率停留在 处或移动到 处，今质点 在 处，求1xC8 秒后质点 在 处的概率本节考查：在高考解答题中，常常是将概率与统计内容与其它知识内容交汇在一起进行考查，主要考查综合理解能力计算能力此类问题一般都同时涉及多个知识点，它们相互交织在一起，难度较大，解答此类题时
11、，要在透彻理解各类事件、各个知识内容的基础上，准确把题目含义，将问题进行分解，特别是要注意挖掘题目中的隐含条件概率与方程、不等式、函数等知识的综合应用题，通过对课本原题进行改编，对基础知识的重新组合、变式和拓展，解题时，应注意各知识要点的联系及列举法、分类讨论与正难则反思想方法运用点点 评评：随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的一种类型在复习备考中，注意掌握概率与统计的基本概念，对于一些容易混淆的概念，应注意弄清它们之间的联系与区别；掌握几种典型概型、分布列及计算公式，体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解
12、，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法，特别明确(1)计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件 A 所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件 A 所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积(2)在古典概型问题中，有时需要注意区分试验过程是有序还是无序；在几何概型问题中需注意先判断基本事件是否是“等可能”的(3)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果；掌握统计及统计案例的典型问题，注意理解抽样、数据分析、求线性回归方程的方法
13、，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题；能抓住知识的综合联系解决实际应用问题 习题 441.某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低25,n碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族” ，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（）补全频率分布直方图并求 、 、 的值；nap（）从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中40,5) 18选取 人作为领队，记选取的 名领队中年龄在 岁的人数为 ，求 的分布列和期望 .330,)XEX2、在一个盒子中，放有标号分别为 1， 2， 3
14、的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡第 5 页（共 5 页）片的标号分别为 x、 y，设 O为坐标原点，点 P的坐标为 (2,)xy，记2OP()求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；()求随机变量 的分布列和数学期望3、从原点出发的某质点 ，按照向量 移动的概率为 ，按照向量 移动的概率为 ，M(1,0)a53(2,0)b52设可到达点 的概率为 )0,(nnP（1）求概率 、 ；12（2）求 与 、 的关系并证明数列 是等比数列；n112nP（3）求 4、一个口袋中装有 个红球（ 且 ）和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同5nN则为中奖（1）试用 表示一次摸奖中奖的概率 ；np（2）若 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；5（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 当 取多少时， 最大？PnP5、已知三个正数 满足 ,abcc(1)若 是从 中任取的三个数,求 能构成三角形三边长的概率;,1290 ,abc(2)若 是从 中任取的三个数,求 能构成三角形三边长的概率(),
