1、 江苏省扬州中学高三质量检测数学试卷 2012.9 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案直接写在答题纸上 )1.对于命题 使得 则 为（ ） 。p:xR,210x.p2.已知全集 集合 则 （ ） 。13456U,312A,B,U(CA)B3.命题 命题 是 的（ ）条件2:aMx;q:aNx,pq（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要” ） 。4.已知 是第二象限角，且 则 （ ） 。35sin(),2tn5.设 则 从小到大的关系为（ ） 。53075381662.a.,b,c.,ab,c6.已知 为常数，若 ，则
2、（ ） 。、 2()4()104fxfxx5ab7.已知函数 的图像过点 ，则函数 的图像关于 轴的对称图形一定过fy3,)f(点( )。 8.若函数 的定义域为 则实数 的取值范围是（ ） 。2143mxR,m9.若函数 是奇函数，则满足 的 的取值范围是（ ） 。20,f()xa.f(x)a10.若二次函数 在区间 内至少存在一点 使得2241f()(p)xp,c,则实数 的取值范围是（ ） 。0f(c),p11.设 若对于任意的 都有 满足方程 这时 所1a2xa,2ya,3xyalog,a取值构成的集合为（ ） 。12.方程 在区间 上所有根之和等于（ ） 。2sinx01,13.设
3、的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围ABC,abcsinAcotaCB是（ ） 。14.已知 且 则 的最大值是（ ） 。x,yzR,2213xyz,xyz,xyz二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知命题 指数函数 在 上单调递减，命题 关于 的方程:p(26xfxaR:qx23ax的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,“ 且 ”为假,求实数 的取值范210apqp围.16.已知函数 且函数 的最小正周期为230f(x)sincosx.in(),f(x)（1）求 的值；（2）若将函数 的图像向右平移 个单位长度，再将所得.y
4、f)12到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变） ,得到函数 的图像，yg(x)求函数 的单调递减区间。yg(x)17.在 中， 的对边分别为 且 成等差数列。 （1 ）ABC,a,bcosC,bcB,osA求 的值；(2)求 的取值范围。2sincos(A)18.函数 是定义在 R 上的偶函数，且对任意实数 ，都有 成立已知当)(xf x)()1(xff时， （1）求 时，函数 的表达式；（2 ）若函数 的2,1xalg1,()fx最大值为 ，在区间 上，解关于 x 的不等式 ,3()4fx19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁 和外壁 都是FGBC半径为 1m 的四分
5、之一圆弧， 分别与圆弧 相切于AB,DC两点， 且两组平行墙壁间的走廊宽B,CEF/,GH/度都是 1m.（1 ）若水平放置的木棒 的两个端点 分别在外壁 和MN,CD上，且木棒与内壁圆弧相切于点 设 试用 表示木棒 的长度APMN(rad),MN（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。f();20.设函数2 0x,g()alnxb().（1 ）若 求 的极小值；11/f()f),Ff(xg)（2 ）在（1 ）的条件下，是否存在实常数 和 使得 和 若km,kmg(x)k?存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由；km（3 ）设 有两个零点 且 成等差数列，试探究2
6、G(x)fg(x)12x,102,x的符号。0/高三_姓名_学号 密封线内不要答题数学附加题试卷 2012.91.已知二阶矩阵 的属于特征值 的一个特征向量为 属于特征值 的一个特征向量为A113,3求矩阵 。1,2.一个口袋中装有 个红球， 个白球，这些球除颜色外完全相同。某人一次从中摸出 个53 3球，其中红球的个数为 。求 的分布列及 的数学期望。XX3.如图，在长方体 中， 是棱 的中点，点1ABCD142AB,D,A,FBC在棱 上，且 （ 为实数） 。E1E（1）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值3F1C的大小；（2）试问：直线 与直线 能否垂直？请说明理由。EFA4.已知 当
7、 时，求证：（1） （2）12n*nnaA.,N,21nna;12313n()().().a高三数学开学质量检测参考答案 2012.9一、填空题1 ，均有 0 ； 22 3充分不必切； 4 ； xR21x 275 ； 62 7 （4，2） 8 m 9abc 04(13,)10 11 124020 13 143(,)|a5(,)2527二、解答题15 由题知 2 3()sin3cosinsifxxx1cosx，又 的最小正周期为 。所以 ，所以sin(216()f2由知 ，将 的图象向右平移 个单1()sin26fx1()sin)6fx12位长度得到的图象 对应的函数解析式为 ，再将图象 上各点
8、的横1C123C坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变）得到的图象 对应的函数解析式为C，由 ，1()sin)23ygx1322kxk()Z得 ，所以函数 的单调递减区间为54k14x()g(,)(kZ17 由题意得 ，又 ， ，cos2cosaCAbB2sin,siaRAbB2sincRC得 ，即 ，在 中， ，sin()2inABiniC0 ， ，又 ， 。01cs03 22,ios()3CA21cos()3A13cosinins1sin()3A ， ， ，203A2A3i(2)A 的取值范围是 2sincos()C1(,19 如图，设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q，过 Q 点作 CD 的
9、垂线，垂足为点 T，且交 MN 或其延长线于 S，并连结 PQ，再过点 N 作 TQ 的垂线，垂足为 W，在 RtNWS 中，因为NW=2，SNW=，所以 NS= ，2cos因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P，所以 PQMN，在 RtQPS 中，因为 PQ=1，PQS=，所以 QS= ，11,2cosQTS若 S 在线段 TG 上，则 TS=QT ，在 RtSTM 中， MS= ，insiTSQ因此 MN=NS+MS=NS+ sinTS若 S 在线段 GT 的延长线上，则 ，在 RtSTM 中，QS，因此siniTQM sinSTMNNsinQS2()sncosSfN1()inco2(ico
10、)102设 则 ，因此 ，sinco(1t2)21sincot24()1tfg因为 ，又 ，所以 恒成立。24()tgtt()0gt因此函数 在 上是减函数，所以 ，即21t(,2tmin(2)4tgmin4MN所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为 4220 由 ，得 解得 ，(1),()1fgf,2ba1ab则 ，2lnFxfxx()2()xF因为 ，所以0（0，1） 1 （1，+）()Fx 0 +极小值所以 的极小值为 ()x(1)0因为 与 有一个公共点（1，1 ） ，而函数 在点（1，1）处的切线方fgx 2()fx程为 ，下面验证 都成立即可，2y()21,
11、fx由 ，得 ，知 恒成立，1x02()f21x设 ，即 ，知其在（0，1 ）上()ln()hx()ln,xhxh单调递增，在（1，+）上单调递减，所以 的最大值为 ，()l()x()0h所以 恒成立lx21故存在这样的 和 ，且 km2,1 的符号为正，理由如下：因为 有两个零点 ，则0()G 2()lnGxaxb12,x有 两式相减得 ，即,0ln2211bxax )l(1221 0)(12，于是1212 )ln(xabx bxaxG002)( )(21bx21xa2112)l(n)(ln2121a12122)(lnxxa当 时，令 ，则 ，且 ，210t121)(2ln)(120ttxa
12、G设 ，则 ，)(ln)(ttu 2)1(4)(ttu0)(2t故 在 上为增函数，又 ，所以 ，tt12l,uu即 ，又因为 ， ，所以 0)(n0a012x0)(xG当 时，同理可得 综上所述， 的符号为正12x)(G数学附加题答案1设 ，由题知 ， ，dcbaA31dcba13dcba即 解得 所以 ,3,1dcba,03,2dcba01A2 ， ， ，561)0(38CXP56)(3821CXP5630)2(81CXP，所以 的分布列为)(385X0123P565601所以 的数学期望 83)( CE3分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，1,DAzyx, xyzD则 ，)0
13、,41()2,0()2()04(),2( F所以 ,4,11 C当 时， ，设平面3)3()(EF的一个法向量为 ，ACD1 ,zyxn由 解得 取 ，则 ，因为 ， ，,01n,21)2,(n14|EF3|n，所以EFnEF,cos| 43因为 ，所以 是锐角，是直线 与平面 所成角的余角，0,cs,EFACD1所以直线 与平面 所成角的正弦值为 EFACD1421假设 ，则 ，因为 ，0E)2,(A，所以 ，)2,14,(0)1化简，得 ，因为 ，所以该方程无解，所以假设不成立，32 364即直线 不可能与直线 垂直EFEA4 因为 ， ，所以当 时，nkAkn)!( )!1(k1knA22n12nnna )11nn )(11nnA，所以 1nann1由得 ，即 ，11nna11nna所以 )()()321aa)(n3421ana)1()()!)!( 1211nnn AA !)!(!21)2(1)( nn )21()1(nn321注：用数学归纳法来证明 ，若正确，同样得 4nn31!2)!1(! 分版权所有：高考资源网()
