1、第七章 一维波动方程的傅氏解（20）一、内容摘要1二阶线性偏微分方程可以分为如下四类：抛物型、双曲型、椭圆型和超双曲型方程。抛物型： 传导和扩散方程；2txyzuau椭圆型： Laplace 方程，稳态问题；0xyz双曲型： 波动或弦振动方程。2txyzuau2一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外，构成定解问题还必须有边界条件和初始条件。(1)初始条件 ：初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地描述该现象。(2)边界条件 ：体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边
2、界条件确定.边界条件反应体系和外界的界面上的情况。常见的边界条件可以分为三类：第一类边界条件： ,|,rBuxyztft第二类边界条件： |,rftn第三类边界条件： |,nrBucft上述三类边界条件,当函数 时,分别称为第一、第二、第三类齐次边界条,0ft件。3定解问题问题的分类：数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题：定解条件仅有初值条件；边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。4分离变量法：（1）分离变量法的基本思想：将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，先从中求出一些满
3、足边界条件的特解，然后利用叠加原理，作出这些解的线性组合，令其满足余下的初始条件，从而得到定解问题的解。（2）分离变量法的特点：把偏微分方程化为常微分方程,从而使问题的求解得以简化。（3）分离变量法的适用范围：适用于波动问题，输运问题和稳定场问题。（4）分离变量法处理问题的步骤：对方程和边界条件分离变量，如果边界条件 是非齐次的，还要对边界条件进行处理。求解常微分方程的本征值问题。构造变量分离形式的特解。叠加特解，利用初始条件确定叠加系数 。 5确定弦的运动方程:（1）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移 ； (2) 被研究的物理量遵循的物理定律:牛顿第二定律；(3) 按物理定律写(,)u
4、xt出方程。6弦的自由振动： , ；弦的受迫振动： ，0f20txua0f2,txuaft(1) 有界弦的自由振动 (泛定方程和边界条件都是齐次的情形), 一条两端固定的弦的自由振动，其定解问题为： 200,()(),()txxlt tuatu通过分离变量法可解得：，1(,)cossininatatxuxtCDlll， .02(ilnxd02()snd解的物理意义： 2cossinsi in.=,tann nnnaaxuAtBtlllBxNtNAll A这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波的振幅、相位由初始条件决定；频
5、率则和初始条件无关，称为弦的本征频率。这种解又称为付氏解。（2）有界弦的受迫振动： 2,0,0, ,. ,txtuaftxltluxl其付氏解为： 1 0,sin,1cosi sin n tn nxuxtTtl ataatt fdll l 7本征值问题： 通过讨论我们知道，仅当 0, X0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同 值的非零解称为本征函 函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。8非齐次边界条件的处理：解 20, .xtlttuagh边界条件的齐次化：为了采用分离变量法,我们需要把边界条件齐次化。引入新的未知函数 和辅助函数
6、 ，令 如果可以,vxt,wxt,uxtvtwxt找到一个函数 ，具备如下性质： 则新的未知函w0 xlgh数 满足齐次边界条件： 。辅助函数的选取： 我们的任,vxt 0, xxlv务转化为寻找一个辅助函数 ，使它通过 两点.满足要求t,() ,()tlt的最简单的函数即： 这样一来，原来的定解问题便,hgwxtxtl 转化为关于 的定解问题：,vt 2200.,0.ttxxltttvawvwx二、习题1求定解问题：20,0(),(,)sintxtuatlA2030, ,0(), txxlttuaxlttl2()sin,0(,),00txtuaftxtl2sinh,4(,)(,)00txtu
7、abxltl2,(5),(,)00txtuaAltlB2将下列方程分离变量：（1） 221120uuaxbyaxby（2） sinsincohcohu210sincohsu3求解下列各本征值问题。(1) 00,Xxl(2) ,0xXab(3) 00,XxlXl(4) 1122()0,0xXll4求上端固定，下端自由的弹簧，在自重作用下的纵向振动解。 5求处于一维无限深势阱中的粒子状态：2,01,0sinixtxtaa6长为 的均匀杆，两端受压从而长度缩为 ，放手后自由振动，求解l (2)l杆的这一振动。7把定解问题：转化为带有齐次边界条件的定解问题。20,(,)(),txxtualtbgllh
8、ux8设有一均匀细弦，其线密度为 . 若 端为自由端， 端固定.初始速0xl度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为 . 求此弦的振动。 sint9设两端固定的轻弦，在初始时刻在弦的 点处，轻轻拨开位移 高度，然xch后让其自振动，试求其解的形式。10 已知一条两端固定的弦长 10( ),弦上各点初速度为零,初位移为m, (此数由弦的材料决定)求弦做微小振动时的波函数。10)()x4210a11化简偏微分方程，其中 为已知常数，提示：令2=+txtuabcud,bcd.+=txuev12试用分离变量法求解混合问题20,(,),0,txxxtublultl其中 为已
9、知函数， 为充分光滑的已知函数。b,三、参考答案1解：(1) 令 ， 设 则原定解问题可变为：,uxtvtwxtsin,txtxl22sin0,0txtatlvxl又令 ，其中,IIvxttvxt，20,txtIIIIvalvxl22sin0,0txtIIIIvatlv解之得：21, sininI lxvxt atlla21iisiin, sinI nttttl xvxt l 其中 nal(2) 令特解 满足齐次方程和齐次边界条件，则(,)()UxtXTt2()()XTtat2()Xxat，代入边界条件得 从而得到决定 的如2()()0ttx (0)l()Xx下常微分方程边值问题 ()Xxl
10、， ，通解 带入边界条件有：020,rr()xxXAeB因为系数行列式 所以 即0llABe1 -0 lle0，无非零解。()Xx ，通解 带入边界条件有0()xAB即 ，无非零解。0,AlB()0Xx ， ，通解020,rri()cossinXxAxBx所以 带入边界条件有()sincosXxAxB01(),0,22cosBlkl 所以 2(1/)kl， =,，特征函数为 (1/)()coskkxXxAl0(/2)(,)skuxtTtl2(1/)()0k kat tl 再代入初始条件得： 300(1/2)(,)cos/,(0kt kxuxTll由正交性知302(1/2)()cos/0lk k
11、lk kxTxdll 所以，得到 的常微分方程初值问题 解得kT 2(1/)()00,k kkaTtTtl 代入初始条件得(1/2)(1/2)cossink kaaCtDtll ,0kkCD3 34430 82(1)(2),22(1/2)cos ,1()lk lkknkxxdll 所以(1/2)coskkaTtl因此 3434 31482(3)()(43)(43) coscos22(,)111()kkkkaktxllluxt tkll(3) 当 时由知识点 6，并利用下面的积分等式：1,23.nal20 2sinsinsinsint attlltdl 就得到上述问题的解 012, sinsinsintln axuxtf tdall l 当 （其中 为某一整数）时，同样按照知识点 6，以及利用下面的lm积分等式：就得上述定0sinsinsincos2taalmaatdtttll lll解问题的解：
