1、客服热线：025-68801918、68801919 - 1 - 学科王教育资源网第三节 运用分类讨论思想解题的策略分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在 0.40.6之间.考试要求：考试说明强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵
2、的数学思想和方法的掌握程度题型一 由概念引起的分类讨论例 1.平面直角坐标系 xoy中，直线 l与抛物线 2yx相交于 A、 B两点求证：“如果直线 l过点 (3,0)T，那么 3OAB”是真命题.点拨：（1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，可求得 3OAB；（2）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在.证明：设过点 (,0)T的直线 l交抛物线 2yx于点 12(,)(,)AyBx.（1）当直线 l的钭率不存在时, 直线 的方程为 3,此时,直线 l与抛物线相交于(3,6)()AB. OAB.（2）当直线 l的斜率存在时,设过点 (,0)T的直线 l的方程为 (3)yk
3、x， 由 (3)yxk得 21266yky 又 2211,， 21211()34OABxy ，综上所述，命题“如果直线 l过点 (3,0)T，那么 3O”是真命题；易错点：（1）在本例中，非常容易遗漏当直线 l的斜率不存在时对命题的论证，习惯性地设直线 l的方程为 ()ykx，直接求得 AB，从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.（2）此题是由概念引起的分类讨论，相关的题目很多，如集合是否为客服热线：025-68801918、68801919 - 2 - 学科王教育资源网空集的讨论；指数函数、对数函数底数的讨论；公比 q、斜率 k的讨论等.变式与引申 1：已知集合 2|9180,|12
4、AxBxa，若BA时，则实数 a的取值范围是_.题型二 由参数引起的分类讨论例 2.（2011 全国课标卷理科第 21 题）已知函数 ln()1axbf，曲线 ()yfx在点(1,)f处的切线方程为 230xy。（）求 a、 b的值；（）如果当 0，且 1时， ln()1xkf，求 的取值范围。点拨：（1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求 ()fx导函数，再利用()f和 ()2f求出 ,ab的值；（2）由于该题存在参数 k，因此应对参数 k进行分类讨论.解：学科王（） 221(ln)xbf x由于直线 30xy的斜率为 1，且过点 (,)，故(1),2f即1,2ba解得 1a， b。（）
5、由（）知 ln()xf，所以 22l1(1)()lnxkkxfx。客服热线：025-68801918、68801919 - 3 - 学科王教育资源网考虑函数 ()2lnhx2(1)kx(0)，则2(1)kxh。(i)设 0k，由22()x知，当 x时， ()0.而 ()h，故当 (,1)x时， (hx，可得 21()0h；当 x （1，+ ）时， h（ x）0从而当 x0,且 x1 时， f（ x）-（ 1ln+ k）0，即 f（ x） 1ln+ xk.（ii）设 0k.由于当 x（1， ）时， （ k-1） （ x2 +1）+2 x0,故 ()0h,而h（1）=0，故当 x （1， k）时，
6、 ()0hx，可得 2()0h,与题设矛盾.（iii）设 k.此时 ()0h,而 h（1）=0，故当 x（1，+ ）时， ()x，可得21x()0,与题设矛盾.综合得， k 的取值范围为（- ，0变式与引申 2：（1）解关于 x的不等式： 210ax.（2）设 k为实常数，问方程 )4(8)4()8(22kyk表示的曲线是何种曲线？题型三由自变量引起的分类讨论例 3.若不等式 2(1)ax在 (,1)x内恒成立，求实数 a的取值范围.点拨：该题是恒成立问题，其实就是求最值问题，由于 (2,1)x， x的符号不确定，因此在参变量分离时应对 x范围进行分类讨论.解：令21()fx，则2(1)()(
7、)1f xx（1）当 时， 0x，则 ()af， 而此时 ()2fx，客服热线：025-68801918、68801919 - 4 - 学科王教育资源网2a；（2）当 1x时， 10x，则 ()afx， 而此时 ()5fx， a；（3）当 时，原不等式化为 2恒成立.综上所述， a的取值范围是 5,).易错点：（1）该题在参变量分离时经常会不考虑自变量 x的取值范围，直接化为2x，求得 2；（2）在分类讨论后，往往没有把最后结果取交集.审题时一定要分清讨论的目标是自变量还是参数，当讨论自变量时结果取交集，当讨论参数时注意分情况写出.变式与引申 3：（1）设 ()fx(1)23()logxe,则
8、不等式 ()2fx的解集为（ ）A.(,2),) B.(10,) C.(1,2)0,) D.(1,) （2）已知 x是不为零的实数， *nN,则 3nxx . 题型四 由运算引起的分类讨论例 4.已知函数 32()(6)+124fxaxaR()证明：曲线 0y在 处 的 切 线 过 点 （ ， ） ；（）若 00()fxx在 处 取 得 最 小 值 ， （ ， ） ， 求 a 的取值范围.点拨:第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程 ()f的判别式进行分类讨论.解：（I） 2()36fxax.由 014,0ff得曲线
9、 ()yfx在 x=0 处的切线方程为(6)2yax由此知曲线 (f在 x=0 处的切线过点（2，2）.客服热线：025-68801918、68801919 - 5 - 学科王教育资源网（II）由 ()0fx得 210ax（i）当 1时， ()f没有极小值；(ii)当 2a或 2时，由 x得21, 1xxa故 02。由题设知 13，当 a时，不等式 2无解；当 时，解不等式 1a得 521a学科王综合(i)(ii)得 的取值范围是 5(,2).易错点：（1）首先该题不知道对方程 (0fx的判别式进行分类讨论；（2）其次，解不等式运算出错.变式与引申 4：（1）若 )34()1nan，求数列 n
10、a的前 项和 nS.学科王（2）已知等差数列 的前 项和 2S.求数列 |的前 项和 T.本节主要考查：（1）本节考查的是分类讨论的数学思想方法，高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.（2）分类讨论的原则有：同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏” ；互斥性原则强调的是“避免重复” ； 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆.（3）分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的
11、思维策略是“化整为零，各个击破”.点评：（1）分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.（2）引入分类讨论的主要原因由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线的斜率等；客服热线：025-68801918、68801919 - 6 - 学科王教育资源网由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数
12、与底数的要求等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由图形的不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论；按实际问题的情况而分类讨论.（3）分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结（4）解题时把好“四关”要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关” ；要找准划分标准，把好“分类关” ；要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关” ；要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 习题 8-31. 已知函数 ()3(0)fxaxa，下列结论正确的是（ ）A当 2时，有最小值 0 B当 3xa时，有最大值 0 C无最大值和最
13、小值 D有最小值无最大值2.数列 na的通项 22(cosin)3n，其前 n项和为 nS，则 30=_3.已知集合 |40,AxaxRa, 1,24B，若 AB,求 a的取值范围.4.已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C： 2y，动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ的比等于常数 )(.求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.5. （2011 湖南文科）设函数 1ln().fxaxR(I)讨论 ()fx的单调性；（II）若 有两个极值点 12x和 ，记过点 12(,),()AxfBxf的直线的斜率为k，问：是否存在 a，使得 ?ka若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由客服热线
14、：025-68801918、68801919 - 7 - 学科王教育资源网【答案】变式与引申 1: 2211,nnSaTP， 2nSTP.（2）当 q时，(1)112(),()nn nnqqaPa 2(1)2(1),nn nSaTP， 2nST.综上，在等比数列 n中， 2nSP成立.变式与引申 2：解：（1） (1)0xa当 0a时， ,；当 2时， 1()(,)xa；当 1时， ,；当 0a时， ()x；客服热线：025-68801918、68801919 - 8 - 学科王教育资源网当 12a时， ,(,1)(,)x.（2）当 k4时，方程变为 240x，即 ，表示直线；当 8时，方程变
15、为 y，即 ，表示直线；当 4k且 时，方程变为 1842kyx，又有以下五种情形讨论：）当 时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的双曲线；）当 64k时，方程表示中心在原点，焦点在 y轴上的椭圆；）当 时，方程表示圆心在圆点的圆；）当 8时，方程表示中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆；）当 k时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的双曲线变式与引申 3:解：（1）当 2x时, 1xe,解得 2x；当 时， 3log()，解得 (10,) 综上所述，可得不等式 2fx的解集为 2,.故选 C.（2） 23nx 12()()1nxx变式与引申 4：（1）当 n为偶数时， 42nSn， 当 为奇数时，
16、 131.综上，*2(,)nkNSn（2）当 6时， 21TS， 当 7n时， 6()7nnn客服热线：025-68801918、68801919 - 9 - 学科王教育资源网综上，21(6)7nnT习题 8-31.C.2. 470. 提示：由于 22cosin3以 3 为周期,故2 222 23014589()(6)(30)S221 103151()547k kk 3. 解：由于 ,4B,且 AB,则集合 可能是空集、单元素集合和两个元素集合.(1)当 2160a,即 a时,因为 ,满足 AB,所以 4,a(2)当 ，即 4时,由 得 4a(3)当 2160a,即 a或 时, 综上可得,当
17、时, AB4. 解: 如图解 829设 MN 切圆 C 于 N，则动点 M 组成的集合是,0PQ. ON MN, ON=1， 1| 2222 O设动点 M 的坐标为 ),(yx，则 221yx即 2()4(1)0x 9 学科王经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P，故方程为所求的轨迹方程. 客服热线：025-68801918、68801919 - 10 - 学科王教育资源网（1）当 时，方程为 45x，它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点 5(,0)4的直线；（2）当 01且 时，方程化为 222)1(3)1(y，它是以 ),(2为圆心， |32为半径的圆.5. 解析：（I） ()fx的定义域为 (0,).2211axf令 2(),gx其 判 别 式 24.A(1) 当 |,0(),afx时 故 ()0,)fx在 上单调递增(2) 当 2时 g=的两根都小于 0，在 (,上，()0fx，故 (),)fx在 上单调递增(3) 当 aA时 0,(x)的两根为22144,axx，当 0时， ()0f；当 12x时， ()0fx；当 2x时， ()fx，故 x分别在 ,)(,)上单调递增，在 1,)上单调递减（II）由（I）知， 2a学科王因为 121112()()(ln)xfxf ax，所以121212lffkxA
