1、第十三章 勒让德多项式 球函数（13）一、内容摘要1幂级数解法：就是在某个任意点 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂0z级数，代入方程以逐个确定系数。不失一般性，我们讨论复变函数 的线性二wz阶常微分方程的级数解：2001, dwpzqzwC如果函数 和 在点 的领域中解析，则称 为方程的常点，如果 是()pzqz0z0z函数 或 的奇点，则称 为方程的奇点。0定理: 如果函数 和 在点 的邻域 中解析, 则常微分方程在圆()zz0zR内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。0zR既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为 Taylor 级数形式： 。00kkwzaz2勒让
2、德方程的级数解:（1） 时的连带 Legendre 方程称为 Legendre 方程0m2110dyxlyx由幂级数解法可得 的系数的递推公式：0kya2112k k kllaa这样 阶 Legendre 方程的级数解是：l01231 ;,!.yxayxlyxx 可以判断 阶 Legendre 方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在l处发散。1x由递推公式易知，当 时， 和 必定有一个成为 次多项式。0,12l 0yx1l这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。Legendre 方程和解在 有界要求分离变过量过程中引入的常数 为零或x 1l正整数。通常把解在 有界说成是 Lege
3、ndre 方程的自然边界条件。1这样，Legendre 方程和自然边界条件构成本征值问题。本征值是 ，本征函l数是 阶 Legendre 多项式。l（2）球函数方程，对球函数进一步分离变量，并211sin10isiYlY考虑到自然边界条件的要求，得到如下分离变量形式的球函数：,cosinAmB其中关于 部分的函数是连带 Legendre 方程的解。取 ，这时球函数只 0和 有关，是一个轴对称的函数；同时 满足的方程变为 Legendre 方程：21(1)dxlx我们把 阶 Legendre 多项式记作: 。它既是 阶 Legendre 方程的解, 也是l lP时的球函数。 阶 Legendre
4、 多项式中系数之间的递推公式为: 0ml。我们可得 阶 Legendre 多项式如下：21k kaal/2 202!1!lk lkl lkkPxxl其中 表示不超过 的最大整数。12（3）Legendre 多项式的微分与积分表示：分数形式：21.!lllldPxx这一关系又称作 Rodrigues 公式积分形式：211.ll llCzPxdixA这一积分被称为 Schlfli 积分。（4）Legendre 多项式的生成函数母函数201coscoslrPdr令 , 则上式表明: Legendre 多项式正是把关于 函数 在cosx r21rx附近展开为泰勒级数的展开系数；类似地，如果把关于 的函
5、数以0rLegendre 多项式为基展开，则展开系数就是相应的 的幂函数。因此我们把这个r函数叫做 Legendre 多项式的母函数或生成函数。（5）递推公式：1 120kkkPxxPx 1112 1=kkkkkkkxxPP （6）Legendre 多项式的正交关系可以证明不同阶的 Legendre 多项式相互正交：12lmlmPxdN其中 称作函数 的模, 定义为:lNlPx12.llNx1l模的倒数称为归一化因子。（6）函数用 Legendre 多项式展开展开定理: 设函数 在区间 上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导fx1,数,则可以在该区间上展开成绝对且一致收敛的级数:0nfxcPx其
6、中 12, 1,2nncfxPd3连带 Legendre 函数（1）连带 Legendre 方程为：2 21(1)0dmxlxx作变换： ，代入方程并整理可得：2my11()10xxly可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 次得到.Legendre 方程的解为：m称为连带 Legendre 函数。2()1mmllxPx（2）连带 Legendre 函数的微分与积分表示 微分形式：2211.!mllmllxdPx积分形式：2211!.mlml lmlCxzdixA（3）连带 Legendre 函数的模与正交关系正交性： ；1 2mmkllklPxdN模： 12!1llNl 二
7、、习题1填空题（1） _； _(写成递推形式)1lnxPdx 10nPxd( )/2 202!lk lkl lkkl2求下列积分。（1） ，其中 1kllkPxxdlk（2） （3） 1kl 164()xPd3将下列式子按勒让德多项式展开。（1） （2） 1,0;xfx,cosin3f（3） ， ()sinf,4（1） 将函数 在区间 上用 Legendre 多项式展开成广义324fx1,Fourier 级数。（2）将 在区间 展成广义 Fourier 级数。4()f1,5证明 122()!0,(),0nnnP 6设有一球心在原点半径为 的球形导热体，内部无热源，球面温度为a，求经过充分长时间
8、后导体内的温度分布。2cos7求下列方程的幂级数解：（1） （2） 0yx(sin)0yx三、参考答案1填空题（1） 2 (1)41() 30 ()nlnl（2） 11(0)nnP2解：（1）注意到被积函数中三个勒让德多项式次数的关系，我们只需将被积函数看成是 次多多项式与 次勒让德多项式的乘积，考虑到 ，ll 10,nlxPdnl因此：1 11=2lklkllkkl lll cPxxdcxPdPxdc 其中2!nc为 的最高次幂 的系数，在计算上面的积分时还用到nPxx11llllPdxcPxd综合以上结果，即得：21 2!=1!kllkkllxxdk （2）由被积函数的奇偶性可以判断，当
9、为奇数时积分一定为 0，故下面只需要讨论 为偶数的情形。再因为 和 的 任意性，不妨假定 ，因此，kll kl1 1 klkl klPxdPxPxd 因为 是 次多项式，次数低于 ，因此积分 。在l2l 10klxP代入勒让德多项式的特殊值 ，同时在勒让德方程1,kkk2110l ldPxlxx中令 又可以得到 ，并注意到1x1 ,22ll ll 为偶数，因此最后就得到：kl， =偶数，且 。11klPxdlklkl（3）由 Rodrigues 公式得 ，由24()44()(1!Px得：11 12 2()() ()2! !nnnnnn nduxPduxxudx 146(4)2(4)2()41(
10、4)0()!58dxxd对积分作变量代换 得sinxt29912001515sincocos88!6().3tdtttd3解：（1）因为 ，可以1 10022,kkkkfxcPxfxPdPxd根据勒让德方程计算出次积分： 1 12 2100 0 10k kk kdxdxPxd Pkxk但当 时需要另行计算， ，综合以上结果，并考虑到0P，即得：2k0 2+12101430221kkkxPPx（2）通过作变换 ，也可以推得：cosx1/21/22 31/2311113 4sin3i4458coscos5 dxxxdxPP 所以：1131 13 14,cosincoscos5062,+,5253i
11、if PeYY（3） 根据定理可得 ，其中0()(cos)nfP021si()sinnncd对积分作变量代换 ，并利用 的奇偶性得oxPx1221 143()0 k kcd而当 为偶数时有n（1）1220(4)(). k kcxPd上面积分总是可以求出的，譬如当 时，4243513()88Pxx故有124240 2246209(3503), sin 8 =sinico9 (365sn3i)84 56cxxdttttd从而有展开式20sin(cos)nP其中系数由（1）给出。4解：（1） 的广义 Fourier 展式为fx0,nfxCPx且展开系数可以计算如下：113224nn nCfxPdxx
12、d根据 Legendre 多项式的正交性质，易知 且计算可得0,.C01234,/5,0,/5.C（2）由定理得.40()nxcPx由 Fourier 系数计算公式及勒让德多项式的正交性可得 又由于0,5.nc是奇函数，故有 .故有13(),Px130c（1）4024()()()xPxcP计算得114400().225cxPdx211442225005(1)!()sinco.7dxxdtt在（1）中取 得 ，由此得 . 最后将上面所得系数代入1x024c483c到（1）中便得.402418()()()5735xPxP5证明：在 中取 并将该等式左边展成 Taylor 级数得0(,)()nn12 212201()()()! ()nnnncP比较上式等号两边 的系数可知 直接计算 可得n(),.nc2132121!(21)!()!()() 1!n nnnnc问题得证. 6解 ：由于导热体内部无热源，球面温度与时间无关，所以经过充分长的时间后导体内的温度将趋于稳态，即温度不随时间变化. 设导体内温度为 ，(,)uxyz则 满足如下定解问题u20, (,)(01cos, ().xyz aauuxyzB
