1、数学科学学院 群的定义及其简单性质群的定义及其简单的性质内容摘要:在抽象代数课程中我们知道，群是现代代数最基本最重要的概念之一，它在数学本身及现代科学技术的很多方面都有广泛应运，比如在物理，量子力学，量子化学，结晶学，等方面的应运就是明证，因此，在我们学了抽象代数课程后，更深入的研究群的理论是很有必要的。本文第一章通过对群的概念进行深入的讨论，进一步了解群的定义，第二章对群的性质进行了深入的归纳与总结.关键词：群 定义 性质数学科学学院 群的定义及其简单性质第一章 群的定义定义 1.1：一个非空集合 G 对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群，假如：（1） G 对于乘法来说是闭的；（2） 结
2、合律成立，对于 G 中任意三个元素 a,b,c 都有a(bc)=(ab)c;（3） 单位元素存在，G 中存在一个元素 e，对于 G 中任意元素 a，都有ea=ae;(4)逆元素存在，对于 G 中任意元 a，都能找到一个元素 a，都有：a a=aa =e;1注 1：上述条件（3） （4）可分别减弱为：（3）存在左右单位元素：即存在 e 属于 E，使得对任意 a 属于 G，都有.ea=a(ae=a);(4)存在左（右）逆元素：即对任意元素 a 属于 G,存在 a 属于 G,使得1a a=e(aa =e);11注 2：有时候，有些群的运算用加法表示，记作“+“，a+b 称为 a 与 b 和，那么条件
3、（1）（4）就成为：（1）G 中元素对于加法是封闭的。（2）结合律成立，对于 G 中任意三个元素 a,b,c 都有。(a+b)+c=a+(b+c);(3)零元素的存在，G 中存在一个元素 0，对于 G 中任一元素 a 有：0+a=a+0=a;(4)负元素的存在，G 中任一元素 a，都可在 G 中找到-a，有-a+a=a+(-a)=0.定义 1.2：一个不空集合 G 对于一个叫做乘法的代数运算作成一个群，假如：I G 对于乘法来说是闭的。II 结合律成立：对于 G 中任意三个元素 a,b,c,有a(bc)=(ab)c.III 对于 G 中任意两个元素 a,b 来说，方程ax=b 和 ya=b.在
4、 G 里有解。例 1G 只包含一个元素 g，乘法是 gg=g，G 对于乘法来说做成一个群。证明：I。G 对于乘法是闭的。IIg(gg)=(gg)g=g;III.gx=g 有解。解为 g,yg=g 有解，解为 g.因此 G 对于乘法做成一个群。数学科学学院 群的定义及其简单性质第二章 群的性质从群的定义，可以退出下面一些性质。性质 2.1。群中单位元素师唯一的。证明。设 G 是一个群，e 是 G 的单位元素，假设 e也是 G 的单位元素，那么，因为 e 是单位元素，所以ee= e;又因 e也是单位元素，所以，ee= e；因此有 e=e,所以 G 中单位元素是唯一的。性质 2.2。在群中，每一个元
5、素只有一个逆元素。证明：设 a 是群中一个元素，e 是 G 的单位元素，a 是 a 的逆元素，如果1a也是 a 的逆元素，那么根据逆元素定义，有：( aa)a =e a = a ;11a(aa )= ae= a;由结合律可得：a= a ;1所以逆元素是唯一的。注：由逆元素的唯一性可得：（a ） =a;1性质 2.33：群论消去律成立，即。如果 ab=ac.则有 b=c;如果 ab=ca,则有b=c;证明。设 ab=ac,则用 a 左乘等式两端，得：1a （ab）= a (ac);1于是：(a a)b=(a a)c1从而：eb=ec. 即可得 b=c.同理可证第二式。性质 2.4。在群中，对于任
6、意两个元素 a,b 方程：ax=b,ya=b 都有解，而且解是唯一的。证明：ax=b，方程两端分别左乘 a ，可得：1a ax= a b,则可得 x= a b111ya=b.方程两端分别右乘 a 可得：ya a =b a 则可得 y=ba .1 1而由消去律可得所得解是唯一的。注：因为群中交换律不一定成立，所以上面两个方程解一般是不相等的，只有在 a 与 b 可交换，即 ab=ba 时，这两个解才相等。对于群中一个元素 a，我们把 n（n0）个 a 相乘所得元素 a ,对于负整数-nn（n0）规定 a =( a ) .n1n数学科学学院 群的定义及其简单性质并约定 a 表示群的单位元素，a (
7、n 为任意整数)。称为 a 的方幂，由结合律可0 n知。性质 2.5：群中指数律成立，即.a a =a ,其中 n,m 为任意正整数。nm（a ） =a ，其中 n,m 为任意正整数。n如果 ab=ba,则有(ab) =a b ,n 为任意正整数。n注：如果讨论的群是交换群，而且群的运算用加法表示，那么上述的一些性质又可表示为：性质（2.1）群中只有一个零元素。性质（2.2）在群中，每个元素只有一个负元素。性质（2.3）-（-a）=a;性质（2.4）如果 a+b=a+c,则有 b=c;性质（2.5）对于任意两个元素 a,b 方程a+x=b,有唯一解：x=b-a；对于加法交换群来说，一个元素的方
8、幂就是这个元素的倍数，当 n0 时，我们用 na 表示 n 个 a 相加所得和，规定（-na）=-na;并约定 0a 表示零元素，于是下列倍数率成立，结论（2.6）na+ma=(n+m)a;m,n 为任意正整数m(na)=mna; m,n 为任意正整数n(a+b)=na+nb, n 为任意正整数参考文献：【1】王萼芳等.有限群伦基础.北京：清华大学出版社.2002.【2】徐耀明等.有限群伦导引.北京：科学出版社，1993.3.【3】张禾瑞等.近世代数基础.北京：高等教育出版社.2009.【4】杨振华等.近世代数基础学习指导.北京：自然科学出版社.2000.数学科学学院 群的定义及其简单性质学年论文成绩表学生姓名 班 级 学 号二级学院 数学科学学院 专业 数学与应用数学论文题目 成绩数学科学学院 群的定义及其简单性质指导教师评语指导教师签名： 年 月 日系意见 签字（盖章）： 年 月 日二级学院意见 签字（盖章）： 年 月 日附件 3（2）：学年论文成绩表学年论文成绩表学生姓名 班 级 学 号二级学院 数学科学学院 专业 信息与计算科学论文题目 成绩数学科学学院 群的定义及其简单性质指导教师评语指导教师签名： 年 月 日系意见 签字（盖章）： 年 月 日二级学院意见 签字（盖章）： 年 月 日
