1、 立体几何（理） 高考对接演练在高考数学试题中， 立体几何（理） 解答题一般位于高考数学解答题（第三大题）前 4 题的位置，以证明题和计算题为主，难度为中档题。基本题型是：在具体背景下，第（）小题是证明线、面关系（包括线面平行、线先垂直、线面垂直、面面垂直） ；第（）小题是求角（包括线面角、二面角）或距离（主要是点到平面的距离） 。试题涉及的知识点有：平面的基本性质（三个公理和三个推论） 、空间点、线、面的关系；直线和平面平行的判定与性质；平面和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定和性质；平面和平面垂直的判定和性质；空间角（包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角） ；空间距
2、离（主要是点到直线的距离） ；空间向量及其应用。立体几何（理） 高考对接演练【例 1】 （2007 山东）如图，在直四棱柱 11ABCD中,已知 ， ，12DC.AB（）设 E 是 DC 的中点，求证: ;11DEAB平 面（）求二面角 的余弦值.11ABC【解】（）连结 BE，则四边形 DABE 为正方形，且 ，1D1A为平行四边形，E四 边 形.1AB，11. BD平 面 ， 平 面1.D平 面（）以 D 为原点， 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直1,C角坐标系，不妨设 DA = 1，则 11(0,)(,0)(,)(0,2)(,).ABA12.设 为平面 的一个法向量，(
3、,)nxyz1D由 得： ，取 z = 1，则 .1AB20xy(2,1)n设 为平面 的一个法向量，(,)mxyz1C由 得： ， 取 ，则 .10yzx1z(,)m设二面角 的的大小为 ，由于 为锐角，则11ABD3cos|,| .9mnED1 C1B1A1DCBAED1 C1B1A1DCBA【例 2】 （2012 青岛一模）如图，在梯形 ABCD 中， ，/ABCD，四边形 ACFE 为矩形，平1,60ADCBA面 平面 ABCD，CF = 1.FE（1 ）求证： 平面 ACFE；（2 ）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为 ，试求(90)的取
4、值范围.cos【解】（1）证明：在梯形 ABCD 中， 因为 ， ，ABC ，/ABCD1CB60所以 AB = 2. 由余弦定理得：22cos3A所以 所以 BCAC 因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCD = AC，BC 平面 ABCD 所以 BC平面 ACFE. （2）由（1 ）可建立如图所示空间直角坐标系。令 ，(03)FM则 ，(0,),(3,0)CA,1,1B所以 1B设 为平面 MAB 的一个法向量，1(,)nxyz由 ， 0A10n联立得： ，3xyz取 x = 1，则 ， ,n易知 是平面 FCB 的一个法向量20所以 1222|11cos334n 因
5、为 所以当 时， 有最小值 ，00cos7当 时， 有最大值 . 所以 3cos121,2ABC1A1C1A1BCABCEzxy【例 3】 （2012 青岛二模） 如图，在多面体中，1ABC四边形 是 正方形，AC = AB =1AB，1， .1/C12BC（）求证： 面 ；/A1（）求二面角 的余弦值的大小.【解】（）取 BC 的中点 E，连结 AE， ，1E因为 ， ，所以 ，1/BC2BC11/,BCE所以 四边形 为平行四边形， 从而 ，1因为 ， 1A面 11EA面所以 。 因为 ， ，/BC面 /BC12B所以 11,因为四边形 为平行四边形，所以 且E1/E1C又因为 是正方形，
6、所以 且 ，1AB1/A=故 为平行四边形，所以 。C1因为 ， ，11面 C面所以 。/E面因为 ，所以 ，1AB11/BAE面 面又 ，所以 。 1面 /面（）因为四边形 为正方形，1所以 , ，1C1所以 ，因 为 ，所以 12AB1CAB12由勾股定理可得： ，所以 ，90AC因为 ，所以 面 ABC ，1因为 ，所以12由勾股定理可得： ，所以 90BACB故以 A 为原点，以 AC 为 x 轴建立坐标系如 图， 则，11(,0),(,)(,)(0,1)2，所以 ， ，1,C1,C， .1(0,)BA1(,)2B设面 的法向量为 ，由,nxyz1100nCAn且，令 z = 1，则1
7、02xzy(,)设面 的法向量为 ，则1ACB2(,)nmk21210,0nBn且则 ，令 k = 1，则 02nkm2(,)设二面角 的平面角为 , 1则 1221cos|,| 3n【例 4】如图所示，四棱锥 PABCD 中，AB AD，CD AD，PA 底面 ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M 为 PC 的中点。（）求证：BM平面 PAD；（）在平面 PAD 内找一点 N，使 MN 平面PBD；（）求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。【答案】（）因为 M 是 PC 的中点，取 PD 的中点 E，则 ，又E12CDAB12所以四边形 ABME 为平行四边形，所
8、以 BM ，A而 ， ，所以 BM BP平 面 PD平 面 PD平 面（）以 A 为原点，以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则， ， ， ， ， ，1,0)2,0C,20,21,M0,1E在平面 PAD 内，设 ，则 ，Nyzyz易知： ，,PB1,DB由 ， 所以 ，得： M20P12由 所以 ，得： yy所以 ，于是 N 是 AE 的中点，此 时 。10,2N PMNBD平 面（）设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 ， ，设 ，则(,)PC， 1,2M,C于是 cos 36|2N 2sin|co|3故直线 PC 与平面 PBD 所成角的
9、正弦为 .2【例 5】 （2011 山东 19）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， ， 平面09ACBEAABCD， EF/AB，FG/BC，EG/AC，AB = 2EF（）若 M 是线段 AD 的中点，求证：GM/平面 ABFE；（）若 ，求二面角2ACBEABFC的大小【解】（）由四边形 ABCD 为平行四边形， ，EA平面 ABCD，可得以 A09为坐标原点，AC，AD，AE 所在直线分别为 轴建立直角坐标系，,xyz设 ，则 ,=,ACaDbAEc(,).1(,0),(,0),0,(,0)2MbBab由 EG/AC 可得: ，()GCR1,2GMEAabc由 FG/B
10、C 可得: ，()FBAD，11(,),22Eabc 则 ， ，而 平面 ABFE，12GMG所以 GM/平面 ABFE；（）若 ，设 ，则 ， ACBE1A2CB,(2,0),(0,)(,0),(1)F则 ， ，2DF20A设 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向1122(,),(,)xyzxyzn=n量则 ，令 ，则 ，即 ； 1120xyz111,0z1(,0)n=又有 ，令 ，则 ，即 。222x22,y2,1xyz于是 ，则 ，1212cosn, 1260n,设二面角 的大小为 ，由题意知：ABFC12,n故二面角 的大小为 。60【例 6】 （2012 潍坊二模）如图，斜三棱
11、柱 ABCA1B1C1，侧面 BB1C1C底面 ABC， BC1C 是等边三角形， .4,BA（1 ）求证： ；1（II）设 D 为 BB1 的中点，求二面角 DACB 的余弦值.【解】（1）因为侧面 BB1C1C底面 ABC， ，1C=AC侧 面 底 面且 ，所以 ，而 ，ABA面 11面所以 。1（II）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， ，1(,23)1(,623)从而有 ，D5,易知平面 BAC 的法向量为 ，1(0,)n设平面 DAC 的法向量为 ，则 且 ，2xyz20nCA20D即 ，解得： ，取 ，得：4053xyz3,
12、5。2(0,)n设二面角 DACB 的大小为 ，xyz则 。1257cos|,|148n【例 7】如图，斜三棱柱 中，侧面 底面 ，侧棱 与底面1ABC1ABC1A成 角， ，底面 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点，ABC06=2E 在线段 上，113E（）求证： 侧面/GAB（）求平面 与底面 所成的锐二面角的余弦。1C【解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则有，(0,),(02,)(3,10)A。1132,B从而有： ， .,G,3E于是有： ，而 ,0,11(0,3)AGE所以 ，即 ，又 ，/EAB/ 1BA平 面所以 1平 面（）易知底面 ABC 法向量为 ，(0,)n设
13、平面 的法向量为 ，则 有 ，1BGE2,xyz10nGBE即 ，取 ，则 ， 。30xyz31y3x所以 。平面 与底面 ABC 所成的锐二面角为 ，则2(3,1)n1BGE.2121321cos, 7|n11BEA G BC H11EA G BC Hxyz【例 8】 （2011 上海） 已知正四棱柱 的的1ABCD底面边长为 1，点 F 在侧棱 上， ,1/B平 面 F且平面 FBD 与底面 ABCD 所成的锐二面角为 。045（）求正四棱柱 的侧棱长；1（）求异面直线 FB 与 DC 之间的距离；（）求三棱锥 的体积。1CFBD【解】（）建立如图所示空间直角坐标系，则有：(0,),(0,)(1,0)(,1)AB设 CF = ，则 。aa，易知底面 ABCD 的法向量为 。(,)m设平面 FBD 的法向量为 ，则nxyz，即 ，取 ，则 ，所以 。0nDBF0yaz1ya(,1)na由已知： ，0 21cos45,|mn即 ，求得： 。所以 。21a2a(,)设正四棱柱的测棱长为 b，则 ，从而 。1(0,)Cb1(,CAb因为 ，所以 ，求得： 。1/CABD平 面 F2An2（）异面直线 FB 与 DC 之间的距离 。3d（） . 11 112()8CFBDCFBDCBDVVSFxyz
