1、对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质繁华分享对 勾 函 数 是 数 学 中 一 种 常 见 而 又 特 殊 的 函 数 。 它 在 高 中 教 材 上 不 出 现 ， 但 考 试 总 喜 欢 考 的 函 数 ，所 以 也 要 注 意 它 和 了 解 它 。(一 )对勾函数的图像对 勾 函 数 是 一 种 类 似 于 反 比 例 函 数 的 一 般 函 数 ， 形 如 f(x)=ax+ （ 接 下 来 写 作 f(x)=ax+b/x） 。当 a0，b0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数。当a，b 同号时， f(x)
2、=ax+b/x 的图象是由直线 yax 与双曲线 y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数” ，也称“ 勾勾函数” 。如下图所示：当 a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 （请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 ）一般地，我们认为对 勾 函 数 是 反 比 例 函 数 的 一 个 延 伸 ， 即对 勾 函 数 也 是 双 曲 线 的 一 种 ， 只 不 过 它 的 焦 点 和 渐 进 线 的 位置 有 所 改 变 罢 了 。接 下 来 ， 为 了 研 究 方 便 ， 我 们 规 定 a0， b0。 之 后 当a0
3、 时，。当 x0 b0 a0 时求 f(x)的单调区间(不必写过程);(2)若 a0, x1+x20, x2+x30, x3+x10, |xi| (i=1,2,3),1a求证:f(x 1)+f(x2)+f(x3)2 .a解：整理得：f(x)=ax+1x(1)当 a0 时, f(x)的减区间为(,0)和(0,+ );当 a0 时, f(x)的减区间为( ,0)和(0, ),增区间为( , )和( ,+)5 分1a 1a 1a 1a(2) 证明:由条件知：x 1,x2,x3中至多一个负数. 6 分()若 x1,x2,x3都为正数, 由 (1)可知|x i| 时,f(|x i|)f( )=2 (i=1,2,3)1a 1a a f(x1)+f(x2)+f(x3)6 2 9 分a a()若 x1,x2,x3中有一负数,不妨设 x30 且|x 3| , x2x3 1a 1af(x2)f(x3)=f(x3)(f(x)为奇函数) f(x2)+f(x3)0 f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x1)f( )=2 12 分1a a综上,f(x 1)+f(x2)+f(x3)2 . 13 分a
