1、1弹簧类问题中动量守恒和能量守恒的综合应用河北省鸡泽县第一中学 吴社英邮 编 057350手 机 13091129626两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的物理过程，具有以下一些特点：能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统的机械能守恒；如果系统所受合外力为零，则系统动量守恒；若系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩最大程度时两物体速度相同(如光滑水平面上的弹簧连结体问题) ，且当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度(如弹簧锁定的系统由静止释放) 。例 1 如图 1 所示，物体 A 和 B 质量相等，它们连在一个轻质弹簧两端，置于左侧有一竖直挡
2、板的光滑水平面上，B 与竖直挡板接触，此时弹簧处于原长，A 此时以速度 v0压缩弹簧，然后反弹回去。若全过程始终未超过弹簧的弹性限度，对 A、B 和弹簧组成的系统，则(A) 从 A 压缩弹簧开始，动量和机械能守恒(B) 弹簧第一次恢复原长开始，动量和机械能都守恒(C) 弹簧第一次拉伸最长时，弹簧的弹性势能与 A、B 此时的动能之和相等(D) 弹簧第二次恢复原长时，A、B 的动量大小相等分析与解答 从 A 开始压缩弹簧开始，至弹簧第一次变为原长，这个过程中挡板对系统有向右的作用力，故系统动量不守恒，但这个作用力对系统并不作功，故系统机械能守恒，A 选项错。从弹簧第一次恢复原长开始，挡板对系统不再
3、有力的作用，系统所受合外力为零，除弹簧弹力对 A、B 做功外，无其它力做功，故系统机械能守恒，B 选项正确。弹簧第一次拉伸最长时，AB 速度相同，设为 v，则 mv0=2mv (1)，EP= mv02 2mv2 (2) 1由(1) (2) 得 EP= mv024此时的动能之和为 EK= 2mv2= mv02，所以 C 选项正确。当弹簧恢复原长时，即 A、B1相互作用结束时，二者速度应交换，所以必有一个物体的速度为零，D 选项错。答案 BC图 1V0B B A2点拨：本题一定要注意挡板对系统有向右的作用力时，系统动量不守恒，但因为不做功，所以机械能守恒。别处要抓住弹簧在最长时速度相等的特点。例
4、2 如图 2 所示，质量为 M 的平板小车静止在光滑水平面上。小车左端放一质量为 m 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧，现给木块一个水平向右的瞬时冲量 I，木块便沿田板向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回并且恰好能到达小车左端，求：(1) 弹簧被压缩到最短时平板车的动量(2) 木块返回小车左端时的动能(3) 弹簧获得的最大弹性势能分析与解答 (1) 弹簧压缩到最短时，平板车与木块有共同速度 I=(M+m)v 共平板车的动量为 P=M v 共= mMI(2) 由系统动量守恒知木块到小车左端时的速度与弹簧被压缩到最短时速度相同，有EK= M v2 共 = (1)12)(I(3) 木块从开始运动到弹
5、簧最短克服摩擦力做功Wf = (M+m) v2 共 EP (2)mI2木块从开始运动到回到车左端时克服摩擦力做功 2 Wf = (M+m) v2 共I21由(1)(2)得EP= )(42MmI点拨：整个过程系统所受合外力为零，故系统动量守恒；因为有摩擦力做功，故系统机械能不守恒，但可以利用功能关系求解。例 3 如图 3 所示，光滑轨道上，小车 A、B 用轻质弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在 A、B 上，然后使 A、B 以速度 V0 沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复原长时，A 的速度刚好为零，已知 A、B 的质量分别为 mA、m B，且 mAm B。求：(1) 被压缩的弹簧具
6、有的弹性势能 EP。(2) 试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车 B 有无速度为零的时刻？V0图 3A B图 2m M3分析与解答 (1)设弹簧第一次恢复原长时 B 的速度为 VB，以 A、B 弹簧为系统动量守恒 (mA+mB) V0= mBVB 机械能守恒 (mA+mB) V02+EP= mBVB 2 11由解出 EP= V02 B(3) 设以后运动过程中 B 的速度为 0 时，A 的速度为 VA，此时弹簧的弹性势能为 EP，由动量守恒 (mA+mB) V0= mA VA 由机械能守恒有 (mA+mB) V02+EP= mAVA 2+ EP 11由 有 EP= V02 V02BAB因 m
7、Am B所以 EP 0弹性势能小于 0 是不可能的，所以的速度没有等于 0 的时刻。点拨：因为系统所受合外力为零且除系统内弹簧弹力做功外没有其它力做功，所以动量守恒、机械能守恒是分析和处理本题的根本。例 4 在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应” 。这类反应的前半部分过程和下述物理模型类似。两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P，右边有一小球 C沿轨道以速度 v0 射向 B 球，如图 4 所示。C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁
8、定，不再改变。然后，A球与挡板 P 发生碰撞，碰后 A、D 都静止不动，A 与 P 接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失） 。已知 A、 B、C 三球的质量均为 m。1） 求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度 。2） 求在 A 球离开挡板 P 后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。P图 4PV0A B C4分析与解 1)设 C 球与 B 球粘结成一个整体 D 时，D 的速度为 v1。由动量守恒定律有mv0=(m+m)v1 (1)当弹簧压至最短时，D 与 A 的速度相等，设此速度为 v2。由动量守恒定律有2mv1=3mv2 (2)由两式得 A 的速度v2= v0 (3
9、)32)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP。由能量守恒定律有(2m)v12= (3m)v22+EP (4)撞击 P 后，A 与 D 的动能都为零。解除锁定后，当弹簧刚恢复自然长度时，势能全部转变成 D 的动能。设 D 的速度为 v3，则有EP = (2m)v22 (5)以后弹簧伸长，A 球离开挡板 P，并获得速度。当 A 与 D 的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为 v4，由动量守恒定律有2mv3=3mv4 (6)当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 EP，由能量守恒定律有(2m)v32 = (3m)v42+ EP (7)1解以上各式得EP = mv02 6点拨：在解除锁定到弹簧恰好恢复自然长度的过程中，系统的动量不守恒，因为此过程中挡板对系统有作用，A 球离开墙壁后动量才守恒，而在此过程中机械能是守恒的。
