1、归纳柯西不等式的典型应用【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。【正文】：1.
2、柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 nnba,2121221221 )(nn babaa 其中等号当且仅当 时成立,其中nba21 R变式： 22121 )( nnn yxyxyyxx 2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有 6 种，下面我们将给出常用的 2 种证明柯西不等式的方法：1）配方法：作差：因为 2211()()nnijiaba2111()()nnnijij211nnijijijijabab22111( )nnnijjiijiiji ijab221()nijijijiijab21()0nijjiij所以 ，即2211()()nnijiaba2211()()nnijiab
3、a即 2222221(n nnb当且仅当 0,)ijjiabj即 时等号成立。(1,2,;1,2,;0ji jnjnb2）用数学归纳法证明 i）当 时，有 ，不等式成立。1n211()ab当 时，2n221112()ababab。2 22 1( 因为 ，故有21112212()()ab当且仅当 ，即 时等号成立。2ab21abii）假设 时不等式成立。即nk222221211()()()k kkabaabb当且仅当 时等号成立。12nb那么当 时，nk2121( )kkabab 2121()kkabab222 211 1121()()()kkk kka2222 1kaab111()()k kb
4、2222nn当且仅当 时等号成立，1122111,kkkkkababab即 时等号成立。121k于是 时不等式成立。n由 i）ii）可得对于任意的自然数 ，柯西不等式成立。n3. 柯西不等式在解题中的应用3.1 证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。例 3.1.1 已知 求证： 。,1122aba 12ba证明：由柯西不等式，得 11)1( 2222baaba由已知 则可知上式取等号，当且仅当,2时a21,12bb22a于是 。3.2 证明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很
5、多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例 3.2.1 已知 为互不相等的正整数，求证：对于任意的12,na正整数 ，有不等式 。n1221naan证明：由柯西不等式：21()n12 211( )naaa12212()()na于是 。1221211()n naanaa又因为 为互不相等的正整数，故其中最小的数不小12,na于 ，次小的数不小于 ，最大的不小于 ，这样就有2n。121naa所以有 。1211()2nnaa因为 122121()n naaa而 121()2nnaa所以有 。12 1n例 3.2.2：设 a,b,c 为正数且不相等到，
6、求证： cbacba922证明：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9= ，212这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。明：2cbacba accbba acbacacbbaacc 92291 111111 2222222因为 a,b,c 各不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立。因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。3.3 证明条件不等式柯西不等式中有三个因式 ， ， 而一般题目中nia12nib12niiba1只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要
7、设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值） ，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量 ， 具有广泛的选择余地，任iaib意两个元素 ， （或 ， ） 的交换，可以得到不同的iajij不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。例 3.3.1 设 ,且 ，求证：Rdcb,a 5632a,dcba 2dcb21解：由 则 3acc由 22256bad且应用柯西不等式 222 )()613)(63( dcbdcb即 2215a故
8、例 3.3.2 已知 ， ,ba,R1b,2Rx求证： 2121xx分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。证明： 2121axbxa2121xx 。2ba3.4 解方程组用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。例 3.4.1 解方程组 486)()(6922224 wyzyxw解：原方程组可化为 486)(69222wxz
9、yx运用柯西不等式得, 2221)( zyxzyx 22)()1(wxx即 ，39227862w两式相乘，得486222 xzyx当且仅当 时取等号。w故原方程组的解为 。3zyx例 3.4.2 解方程组：设 3，解方程, 36)(4)(2)(22yxzzyx解： 6-y)(4)(2x22xzzyy）（ )6()4()2( yxzzy 2642zyx即 36 )( 136 26zyx21zx令 ,则 72ss02482即 )(s2等号成立 则有 4szyx22)()(zzyx2)6(11242)(42 zyxyxzy1624zx故 108y3.5 求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的
10、极值或最值。事实上，由可得222221211()()()n nnabababb，如将上式22左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知 的最12nabab大值与最小值分别是 与222211()()nnaabb，且取最大值与最小值的充要条221 2()nab件是 。21nb反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。例 3.5.1：求函数 的极值，其中 是常数。sincosyaxb,ab解：由柯西不等式： 22222(sincos)()sic)yaxbx故有 。2yab当且仅当 时，即 时，sixarctn()kZb函数 有极小值 ，极大值 。incoya22ab例 3.5.2 已知 为常数，当 时，求函数,bcR22xyzR的最大值与最小值。(,)fxyzayz解：由柯西不等式： 2 2(,)()fxabycz222()()abcxyz22()abcR故 。2,fxyzabc当且仅当 ，即 （ 为常数）时等号t,xatybzct成立。 将 代入 得,xatybzct22R222()abctR
